>
デスク1
42
互いに素であることの証明問題 (1)
基礎例題 86
(1) a
き, a +9 は 21 の倍数であることを証明せよ。
は自然数とする。 α+2 が7の倍数であり, α+3 が3の倍数であると
基礎例題 80
発展例題 97
000
(2) 自然数αに対し, a とα+1は互いに素であることを証明せよ。
CHART
答
GUIDE
重要な性質
aとbが互いに素αともの最大公約数が1
a,b,c は整数で, a, b は互いに素であるとする。
1. ac がもの倍数であるときは6の倍数である。
2.αの倍数であり,bの倍数でもある整数は ab の倍数である。
(1) k, lを自然数として a+2=7k, a+3=31 と表すことからスタート。
② a+9 を a+9= (a+2)+7, a+9= (a+3) +6 と2通りに表す。
(2)
3 α+9 は7かつ3の倍数となるから, 2. を用いて 7・3の倍数とする。
aとα+1の最大公約数をgとして,g=1 となることを示す。
+2, a +3 は自然数k, lを用いて
a+2=7k, a+3=3l と表される。
← 「αは自然数」でな
00
整数」の場合
様に成り立つ。
α+9= (a+2)+7=7k+7=7(k+1)
①
a+9= (a+3)+6=3+6=3(+2)
の倍数なら
=k(kは整
① より a+
倍数であり,②より α+9 は 3
でも"
こす
に素であるから, α+9 は 73
。
)=3(1+2)
性質2.を利用
←α+9 を消去。
であるが,
いに素で性質1.を利用
整数)と表
k+1が3の
