117 次の等式を満たす有理数 p, qの値を求めよ。
第2章 集合と命題 29*
113 実数 x が正の無理数であるとき, /x は無理数であることを証明せよ。
STEPくB
例題 13 nは整数とする。次の命題を証明せよ。
n°が3の倍数ならば, nは3の倍数である。
対偶を証明する。3の倍数でない整数nは, 3k+1, 3k+2(kは整数)のいずれかの
形で表される。
対偶「nが3の倍数でないならば, n° は3の倍数でない」 を証明する。
nが3の倍数でないとき, nはある整数えを用いて 3k+1, 3k+2のいずれかで表さ
指針
解答
れる。
こ de
[1] n=3k+1のとき
n=(3k+1)°=27k°+27k°+9k+1=3(9°+9k°+3k)+1
9°+9k°+3kは整数であるから,n°は3の倍数でない。
12」 n=3k+2 のとき
ケ効半ふ 変
n°=(3k+2)°=27k°+54k°+36k+8=3(9k°+18k?+12k+2)+2
9°+18k°+12k+2は整数であるから, n° は3の倍数でない。
よって,対偶は真である。したがって,もとの命題は真である。終
114 m, n は整数とする。次の命題を証明せよ。
(1) n?が5の倍数ならば, nは5の倍数である。
*(2) mn が3の倍数ならば, m, nの少なくとも一方は3の倍数である。
115 V6 が無理数であることを用いて,V3-V2 は無理数であることを証明せ
太関
よ。
T16 p, gが有理数,Xが無理数で, か+qX=0 であるならば, カ=q=0 であるこ
とを証明せよ。
=1
1)0ta?=2+V2
2-1
