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19:45 9月29日 (月)
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2024_10月_Z3.pdf
Z3
数列の極限 (40点)
@
1
a₁ =
an+1=
guess (n=1,2,3,………)によって定められる数列{a}がある。
4an+
2+1
また,bm=2"an (n=1,2,3,.....) によって定められる数列{bm}がある。
(1)b の値を求めよ。 また, bw+1 をb" を用いて表せ。
(2) bm n を用いて表せ。 また, limb を求めよ。
(3) 座標平面上に次のように点をとる。
Ai(bi, ai),
A2(b2, α2), ......, An(b, a),
An+1 (bu+1, an+1),
Bi(b1, 0), B2(62, 0), ......, B (6,0),
△Am Bm Am+1 の面積を S,(n = 1, 2, 3, ……… とするとき,無限級数 S の和を
求めよ。
配点 (1) 8点 (2) 14点 (3) 18点
解答
(1)
b1=2a1=2.12 = 1
bu
bn+1
b=2"an より, an=
an+1=
を an+1=
+
2"+1
=1/2ant20に代入す
ると
bn+1 1.bm 1
=
・+
2+1 42" 2+1
両辺に 2+1 をかけて
bn+1= =b+1
b₁ +1
(2)
解法の糸口
圈 b1 = 1,bw+1=b+1
= b + 1
93%
☑
{bm} の漸化式は次のようにして求
めてもよい。
1
an+1=
4an+
1
21 の両辺に 2月+1
をかけて
21.2*+1
bn=2"an より
=
12/26+1
数列{bm} の漸化式が bu+1= sbu+t (s, tは定数, s≠1) で与えられるとき, 漸化式を bu+1-α=s(bu-a) (a
は定数)と変形することができる。 したがって, 数列{bm-α} は初項b-α, 公比s の等比数列であり,このαは,
a = sα+t を満たす。 これらを踏まえて, bu をn を用いて表す。 また後半は, 求めたb を用いて limb を求める。
bu+1=12bu+1 を変形すると
8
bm+1-2=
-2)
よって, 数列{bm-2} は初項がb-2=1-2=-1,公比が1/2の等比数列
であるから
a=12α+1 を解くとα=2
n-1
bm-2=(-1)
−1)(1)
71
