標本の大きさは大きい方が四分位範囲が小さくなり、母集団の平均値を推定しやすくなるそうですが、標本が多ければ多いほど外れた値がでる可能性も上がると思ったのですが、どうなのでしょうか？

穴埋めしてください。途中まで入れましたが合ってるかわかりません。

【母比率の推定】 標本比率 R から母比率を推定する. ☆標本比率 R から母比率を推定する公式 (信頼度 95%の信頼区間) R(1-R) R-1.96. ≦p≦R + 1.96. R(1 -R) (教科書p. 89 参照) n n この公式は教科書でも証明がなされているが, 今回は別の方法で説明してみる。 以下の手順 (1) を読み進め, 空欄を埋めながら納得せよ. ~ (6) (1) 母集団が十分大きな場合を考える。 その母集団の中で性質 A をもつものの比率を母比率と 呼ぶ。 この集団から大きさの標本を無作為抽出し, その標本に含まれる性質 A であるものの 個数を X とする.すると Xは,(確率分布名)→二項に従う. (2) 標本数 n が十分大きいとき,前述の分布は,正規分布 に近似的に従う. (3) Xがnp-A≦x≦np+A の区間に含まれる確率が 0.95 となる A を求めると, Ponp-A≦x≦np+A)=0.95 より Z= x-np という変換により,変換後の変数 ZをN(0, 1) に従うようにして, √mp (1-1) A A P =0.95 (←真ん中の式はZのこと) Anp(1-P) Thpc1-p JAD (HP) X 1 (4) ここで,標本比率 という変数を考えると,上式の不等式の中辺を分母分子 倍することで n n X A ・P n A P |=0.95 ∴.A= Inpll-p) PI-P) (5) よって -1.96. Þ(1 - p) X 1.96. Þ(1-p) n n n X これより --1.96 p(1 - p) X + 1.96. p(1-p) となる. n n n n (6)が大きいときは,標本比率 R を,母比率のの代わりに推定の式に利用してよいことに なっていて, (*)の母比率の推定の公式が得られる.

標本標準偏差と 標本の標準偏差ってもしかして違いますか？ 違ったら違いを教えてください

165〜7この紙に書いたやり方以外で簡単な計算法方ないですか？

推定 1 母平均に対する信頼区間 母平均m, 母標準偏差 の の母集団から抽出された大きさんの無作為標本の標本平均をX とする。 nが大きいとき, 母平均 m に対する信頼度 95%の信頼区間は [x-1.96 X +1.96] 上で,母標準偏差のが不明の場合, 代わりに標本標準偏差s を用いてもよい。 2 母比率に対する信頼区間 226- 4STEP数学B 第2節 統計的な推測 159 0 s²=11 (71-72)2.3+10 (72-72)2.4 + 1/16 (73 (73-72)2.3 6 -0.6 == 56-7247 よって 10 sv0.6 s また 1.96m= =1.96. √0.6 +0.48 √10 度 95%の信頼区間は |R- R-1.96 R(1-R) 大きさんの無作為標本の標本比率をR とすると, nが大きいとき, 母比率に対する信頼 ゆえに, 信頼度 95% の信頼区間は [72-0.48,72+ 0.48] すなわち [71.52, 72.48] ただし, 単位は回 n R+1.96 / R(1-R) 166 標本の不良品の率をRとする。 n R=- 32 800 =0.04, n=800 であるから R(1-R) 0.04-0.96 STEPA 1.96 =1.96 n 800 0.014 よって、 製品全体の不良品の率に対する信頼度 *163 ある試験を受けた高校生の中から,100人を任意に選んだところ,平均点は 58.3点であった。母標準偏差を13.0点として,母平均を信頼度 95% で推定 せよ。 164 大きさ 100 の標本の平均値は 56.3で,標本標準偏差は10.2 である。このとき, 母平均を信頼度 95% で推定せよ。 95%の信頼区間は [0.04 0.014, 0.04 +0.014] すなわち [0.026, 0.054] 167 標本の A政党支持率をR とする。 R= 625 2500 =0.25, n=2500 であるから R (1-R) 10.25 -0.75 1.96 =1.96 n 2500 +0.017 *165 1分間の脈拍数を10回測ったところ, 次の通りであった。 71, 72, 71, 72, 73, 7, 71, 72, 73/72 脈拍数の分布は正規分布であるとして, 母平均を信頼度 95% で推定せよ。 ただし、母標準偏差の代わりに, 与えられた10個の脈拍数の標準偏差を用い てよい。 よって, A 政党支持率に対する信頼度95%の 信頼区間は [0.25-0.017, 0.25+0.017] [0.233, 0.267] すなわち 168 政策支持者の標本比率をRとする。 216 R= =0.54, n=400 であるから 400 R (1-R) 0.54-0.46 1.96. =1.96 n 400 ≒ 0.049 166 ある工場の製品から、無作為抽出で大きさ 800 の標本を選んだところ, 32個 の不良品があった。製品全体の不良品の率を信頼度 95% で推定せよ。 167 ある町の有権者 2500 人を無作為に抽出して, A政党の支持者を調べたところ, 625人であった。この町のA政党支持率を信頼度 95%で推定せよ。 よって, 政策支持者の母比率に対する信頼 95%の信頼区間は [0.54 0.049, 0.54+0.049] ゆえに 0.491 ≤0.589 ① 有権者1万人に含まれる政策支持者の人数に 10000であり、①の各辺を10000倍すると 4910100005890 よって, 4910人以上 5890 人以下ぐらいい 定される。

162 ノートのように最初から正規分布で行こうと思ったんですがなぜ二項分布で入ってるのですか？ あと最後から3行目から最後から2行目に行くところの計算方法教えて欲しいです

=0,023 20 近似的に正規分布NO.5. 分布NO.1に従う。 分布に従うから、Rは近似! (意)→(言 Z =R-2は標準正規分 =区 ・区 + 32 3 し、書かれた数字が奇数であるという特性を入とするとき、次の問いに答 (1) (2)この母集団から,大きさ1の無作為標本を抽出するとき, 特性Aの標本比 率の確率分布を求めよ。 (3)この母集団から,大きさ2の無作為標本を抽出するとき, 復元抽出後 元抽出の各場合について,特性Aの標本比率の確率分布を求めよ。 ✓ 162枚の硬貨をn回投げて, 表の出る回数をXとするとき, 編 R=1 となる確率は 54 10 よって, R の確率 分布は右の表のよ うになる。 R 0 0.5 1 6 P 10 10 1 n なる確率が0.95 以上になるためには,nをどのくらい大きくすればよいか。 100未満を切り上げて答えよ。 164 母平均を信頼度95%で推定せよ *165 1分間の脈拍数を10回った 71,72,71, 脈拍数の分布は正規分布であ ただし、母標準偏差の代わり てよい。 166 ある工場の製品から、無作 の不良品があった。 製品全 *167 ある町の有権者2500人を 625 人であった。 この町 162 Xは二項分布B (n, 1/12) に従うから、Xの 22, 期待値mと標準偏差のは 162 正規分布(土) 70 ×は従う。 m=- 0= 1/2(1-1/2)=1 n よってZニメ三=2(X-2 2 よって, Xは近似的に正規分布 メン X- 2 に従い Z= <は標準 ₤12 -0.014 - ±≤0.01 >> 2 メール 正規分布 N(0, 1) に従う。 ゆえに PS001)-P50.01) = 2n 2p(0.02)≥0.95 +3 = P(Z≤0.02√√) =2p(0.02√n) p(0.02)≥0.475 正規分布表から 0.02 1.96 よって ≥9604 したがって, nを9700以上にすればよい。 163 標本の平均値は 58.3, 標準偏差は 130 標本の大きさは=100 である。 よって、信頼度95%の信頼区間は 13.0 [02-19 13.0 数学B STEP A・B、発展問題 20 20 Z

160 ⑵なぜ（1,3）と（3,1）など同じもの数えてるんですか？ あと標本平均って母平均とおんなじになるんじゃないんですか？

20IOR 224- 4STEP数学B X1X2 N(0.5, 0.025)に従い, ZR-0.5 -は近似 よって、標本平均 X= 0.025 的に標準正規分布 N(0, 1) に従う。 したがって、求める確率は 6(R)=左 母比率=ER JP(0.48MR 0.52)=P(-0.8MZ≤0.8) =2p(0.8) =2-0.2881 361 =0.5762 ↑ 159 相対度数は、標本比率と同じ分布に従う 2のとる俺は 1, 1.5, 2, 2.5,3 また、各値に対応する (Xi, X2)の個数は 4, 4, 9, 4, 4 したがって、標本平均Xの確率分布は、次の 表のようになる。 5枚のカードの数字を 1, 1, 2, 3, ' で表す と、標本(X1,X2)の選び方は次のように全部で 5P2 = 20通りある。 X 1 1.5 2 2.5 3 計 から、Rは近似的に正規分布 P 44 9 4 4 252525 1 25 25 6' すなわち ( 13 ) 分散 R- 36 [非復元抽出の場合] よって, Z=- は近似的に標準正規分布 1/5 N(0, 1) に従う。 PR-1)=√ √ Z≤ =P(12) 6√n P(-1≦Z≤1)=2p(1)=2.0.3413=0.6826 (1)n=500のとき (2)2000 のとき P(−2≦Z≦2)=2p(2)=2.0.4772=0.9544 (3)=4500 のとき P(-3≤2≤3)=2p(3)=2-0.49865=0.9973 (1,1'), (1,2), (1,3), (1,3'), (1', 1), (1,2), (1', 3), (1′,3'), (2,1),(2,1'), (2,3), (2,3'), (3, 1), (3,1'), (3, 2), (3, 3), (3, 1), (3, 1), (3', 2), (3, 3) X1+X2 のとる値は 2 よって、 標本平均 X = 1, 1.5, 2, 2.5,3 また,各値に対応する (X1,X2) の個数は 2, 4, 8, 4, 2 したがって, 標本平均 X の確率分布は,次の 表のようになる。 O 158 第2章 統計的な推測 158 ある国の有権者の内閣支持率が50%であるとき 無作為に抽出した400人の 有権者の内閣支持率をRとする。 Rが48% 以上, 52% 以下である確率を求め よ。 10 推定 1 母平均に対 母平均 m とする。 159 1個のさいころを回投げるとき、1の目が出る相対度数をRとする。次の 各場合について 確率 PR-1/11) の値を求めよ。 *(1)n=500 *(2) n=2000 (3) n=4500 STEP B 160 1, 1, 2, 3, 3の数字を記入した5枚のカードが袋の中にある。これを母集団 とし,無作為に大きさ2の標本X1, X2 を抽出する。 (1) 母集団分布と母平均を求めよ。 (2)標本平均Xの確率分布を復元抽出。 非復元抽出の各場合について求め よ。 上で 2 母比率 大きさ 度95 * 163 0 1 X 1 1.5 2 2.5 3 計 1 2 4 21 P 1 160 (1) 母集団分布は, 大きさ1の無作為標本 の確率分布と一致する から、 カードの数字を 変量とすると, 右の表のようになる。 10 10 10 10 10 X 1 2 3 計 21 2 161 (1) 母集団の大きさは 5 P 1 5 5 5 また, 特性 A を満たす要素の数は 3-m よって、 特性 A の母比率は 5 5 母平均は1.24/3+2.12/3+3.1/2=1/8=2 10 -=- (2) 特性 A の標本比率を R R 0 とすると、抽出した標本が 1 計 (2) 復元抽出の場合] 2 3 偶数ならR=0. P 1 5 5 奇数なら R=1である。 よって、Rの確率分布は右 の表のようになる。 □ 161 1, 2, 3, 4, 5の数字を書いた5枚のカードが袋の中にある。これを母集団と し書かれた数字が奇数であるという特性をAとするとき、 次の問いに答えよ。 (1) 特性Aの母比率を求めよ。 (2) 特性Aの標本比 この母集団から、大きさ1の無作為標本を抽出するとき、 率の確率分布を求めよ。 (3) この母集団から、大きさ2の無作為標本を抽出するとき、 復元抽出、 非復 元抽出の各場合について、 特性Aの標本比率の確率分布を求めよ。 5枚のカードの数字を 1, 1, 2, 3, 3' で表すと, 標本 (X,, X2)の選び方は次のように全部で 5225通りある。 (1,1), (1,1', (1,2), (1,3), (1,3'), (1', 1), (1,1', (1,2) (1,3), (1',3'), (2, 1), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 1), (3, 1), (3', 2), (3, 3), (2, 3'), (3, 3'), (3, 3) (3)[復元抽出の場合] 大きさ2の標本 (X1, X2) の選び方は,次のよう に全部で525 (通り)ある。 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), △ 162 1枚の硬貨をヵ回投げて、表の出る回数をXとするとき... 12/0.01 と なる確率が0.95 以上になるためには、nをどの きくすればよいか。 100未満を切り上げて答えよ。

1番最後のクケコサのところなんですが 〰️の部分がわからないです なぜ0<z<1.25だけではだめなんですか？？ また0.5が足される意味もわかんないです💧 教えてください 見えにくいところがありましたら教えてください

以下の問題を解答するにあたっては,必要に応じて150ページの正規分布表を用い てもよい。 ある母集団における変量xの分布は正規分布であり、その平均がm、標準偏差が16 であるとする。 (1)m=25 とする。 また, 同じ母集団において, 変量yの分布が,同じく平均m, 標 準偏差 16 の正規分布であるとする。 大きさの無作為標本における, 変量 x, yの値をそれぞれX, Yとする。確率 変数X, Yが互いに独立であるとき, 確率変数X+Y の平均 (期待値) E (X+Y) と分散V(X+Y)は 図のよ 考える。 E(X+Y)= アイ V(X+Y)= ウエオ である。 (2) 母集団から大きさんの標本を無作為に抽出し, その変量 xについての標本平均を Xとする。 X の平均(期待値)E(X) と標準偏差(X)は (1) a-7 E(X) = カ 6(X)= であり,Xは平均 カ 標準偏差 キ の正規分布に従う。 したがって, m=25 のときに,この母集団から無作為に大きさ100の標本を抽出 すると、その標本平均 Xが27 以下の値をとる確率は である。 P(X≦27) = 0. クケコサ カ キ の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。) 1 m ①m m n 16 mn よっ ∠A であ (3才) ④ 16m ⑤ 16√n ⑥ (ガキ) 016 (31)E(x)=E(Y)=25E(X=m6(x)=①① E(X+Y)=E(x)+E(Y) =50 E(X) = 25 6(x) = 160 (ウ) 8 5 150 X-25 Z= 8 音は標準の (25号) ウェオ)V(X)=V(Y)=256 P(X=27)=P12=125) V(X+Y) = V (X)+V(Y) =256+256 P(2=0)+P(Dszs125) 0.5 +0.3944 5121 15

これどっちを使えばいいか分からないのですが、nが出てきたら下の正規分布に従えば大丈夫ですか？

224 464 基本 例題 73 標本平均と正規分布 体長が平均50cm, 標準偏差 3cm の正規分布に従う生物集団があるとする。 (1) 4個の個体を無作為に取り出したとき, その標本平均が53cm以上とな る確率を求めよ。 (2)16個の個体を無作為に取り出したとき, その標本平均が49cm 以上 51cm以下となる確率を求めよ。 p.460 基本事項 2 HART & SOLUTION X-m 正規分布 N(m, o²) はZ=" で標準化 0 母集団が正規分布 N(m, oz) に従うとき, 標本の大きさが大きくなくても、常に Xは正 規分布 Nm, に従うことが知られている。 (1) では, 母集団が正規分布 N (50, 3) 2 うから,大きさ 4の無作為標本の標本平均Xは正規分布 N (50, 2)に従う。 解答 (1)標本平均Xは正規分布 N (502) に従う。よって, X-50 3 A2 H z=- とおくと,Zは標準正規分布 N (0, 1) に従う。 正規分布表を利用でき ゆえに P(X≧53)=P(Z≧2)=0.5-p(2) =0.5-0.4772=0.0228 (2) 標本平均 Xは正規分布 50.6 に従う。よって、 る。 inf 母集団が正規分布に 日本 例題 74 標本 (1) 箱の中に製品が多 いう。この箱の中か れる不良品の率 RO (2) ある地域では,親 る。この地域で, の男子の割合を を求めよ。 CHART & SOLI 母比率の母集団から 期待値 E(R) (2) 標本の大きさ に従う。 このこと 解答 (1)母比率は 標本の大き よって, Rの また, R の標 (R)=1 従わない場合でも大きさ の無作為標本の標本平均 (2)母 X-50 Z= 3 4 とおくと, Zは標準正規分布 N (0, 1)に従う。 X は, nが大きいとき、近 似的に正規分布 ゆえにP(4951)=(-13sz=142)=2p(1.33) =2×0.4082=0.8164 moに従う。この ことは,下の中心極限定理 により導かれる。 標本の大き よって, RO また、Rの TAC-6(R)= INFORMATION 中心極限定理 確率変数 X1,X2, ······, X, は互いに独立で, 平均値が,分散が2の同じ分布に従 うものとする。 このとき, X1+X2+......+Xn を標準化した確率変数 (X1+X2+・・・・・・+X-nm) すなわち Z== X-m no の分布は,nが十分大きいとき, 近似的に標準正規分布 N (0, 1)に従う。 PRACTICE 2 73 母平均 120, 母標準偏差30をもつ母集団から,大きさ100の無作為標本を抽出すると その標本平均Xが123より大きい値をとる確率を求めよ。 PRACTIO ある国の の内閣の 1√6=2. 0 よって、 標 従う。ゆえ 正規分布 よって

数B統計について。写真の問題において、xkとx̅ (マーカーした部分)の違いって何ですか？ xk はそのまま母集団側、x̅ は標本側ということですか？

数学II, 数学B, 数学C 第4問~第7問は,いずれか3問を選択し, 解答しなさい。 第5問 (選択問題)(配点 16) 以下の問題を解答するにあたっては, 必要に応じて 27ページの正規分布表を用いても よい。 [1] 母平均 m, 母標準偏差 ♂の母集団から大きさの標本を無作為に抽出するときの 標本平均について考えよう。 母集団の大きさが標本の大きさに比べて十分大きいとする。 このとき, 標本の 抽出は復元抽出と考えてもよい。 そのn個の要素における変量x の値を X1, X2, ..., X, とする。 これらは,大きさ1の標本の確率変数とみなされ, それぞれが母集 団分布に従うから, Xk の平均 (期待値) E (X) と標準偏差 o (Xk) (k=1, 2, ..., n) は E (X)=E(X2)= =......= ・E(Xn)= ア = 0(x) = 0(X2)= =0(Xn) イ = である。 よって、 標本平均 ☑ X+ X2+... + Xn = n の平均 (期待値) E (X) と標準偏差 o (X) は E(X) ウ = {E(X,)+E(X2)+ +E(Xm) } I = == σ(X) オ |{0(x)}+{0(X2)}' + +{0(Xn)}2 = カ となる。 また、標本の大きさnが十分に大きいとき, 標本平均 X は近似的に正規分布 N(E(X), {(X)}2) に従う。 (数学Ⅱ, 数学B 数学C第5問は次ページに続く。)

赤線部のように分かるのはなぜですか？🙇🏻‍♀️ お願いいたします🙏🏻

182 母比率の推定 新しい薬を作っているある工場で,大量の製品全体の中から任 意に400個を抽出して検査を行ったところ, 8個の不良品があっ た.この製品全体について,不良率」に対する信頼度 95%の信 頼区間を求めよ. 精講 母集団の中で,ある特定の性質をもつ要素の母集団全体に対する割 合を母比率といいます.また,標本の中で,ある特定の性質をもっ 要素の標本全体に対する割合を標本比率といいます。 母集団の性質Aの母比率に対する信頼度 95%の信頼区間を,標本比率尺 を用いて推定してみましょう. この母集団から無作為抽出した,大きさんの標本の性質Aをもつものの個数 をX とすると, P(X=r)=nCrp”(1− p)”¯r n-r (r=0, 1, 2, …, n) これより,X は二項分布 B(n, p) に従いますので,176 で学習したように, 期待値は E (X)=np, 分散はV(X)=np(1-p)となります. nが十分大きいとき,Xは近似的にN(np, np (1-p)) に従いますので、 X-np √np(1-p) z= とおいて,Xを標準化すると, Zは N (0, 1) に従います。 正規分布表より, P (-1.96≦Z≦1.96)=2P(0≦Z≦1.96) = 0.4750×2=0.95 ですので, -1.96≦Z≦1.96 - 1.96 ≦ X-np ≦1.96 √np(1-p) ← -1.96√np (1-p)≦x-np≦1.96√np(1-p) — −X−1.96√np(1−p)≤−np≤−X+1.96√np(1− p) n X-1.96√/ p(1-p) spsxx +1.96 X p(1-p) n n n X は標本の性質Aをもつ標本比率Rを表しています.さらに,nが十分大 n きいときとはほぼ等しいと見なせますので,信頼度 95%の信頼区間は, R(1-R) R-1.96/ ≤p≤R+1.96 n R(1-R) n