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【問2】
1回投げると, 確率p(0<<1) で表, 確率 1-pで裏が出るコインがある. このコインを投
げたとき,動点P は, 表が出れば +1, 裏が出れば-1だけ, 数直線上を移動することとする.は
じめに, Pは数直線の原点 0にあり, n回コインを投げた後のPの座標を Xn とする. 必要に応じ
て,正規分布表を用いても良い.
(1) X1 の平均と分散を, それぞれp を用いて表せ. また, Xn の平均と分散を, それぞれんと
p を用いて表せ.
(2) コインを100回投げたところ X100 =28であった.このとき, pに対する信頼度 95% の信
頼区間を求めよ.
(1) X」 についての確率分布は次のようになる。
X1 -1 1 計
確率 1-p p 1
であるから, X100 28 のとき
2k-100=28
k = 64
である. これより標本比率 Rは
よって、求める X」 の平均E(X」) は
R=
64
100
=0.64
E(Xi)=(-1)・(1-p) +1 p=2p-1
であり,分散 VOX」)は
である. これより
R(1-R)
V(X)=(-1)・(1-p) +12.p-(2-1) 2
=4p(1-p)
R-1.96 ×
100
=0.64-1.96 ×
0.641-0.64)
100
である.
= 0.54592
ん回目の試行で表が出れば 1, 裏が出れば-1 の値をと
る確率変数を Yk (k=1, 2,...,n)とし
であり
Xn=Y1+Y2+... + Yn
R(1-R)
R + 1.96 ×
と定める. Yk (k=1, 2,...,n) は互いに独立である
から
100
0.64(1-0.64)
= 0.64 +1.96 ×
E(Y)= E(X)=2p−1
100
V(Yk)=V(Xi)=4p(1-p)
= 0.73408
であるから, 求める信頼区間は
である.
E(Xn)=E(Y1 +2 +... + Yn)
0.5459 p≤0.7341
=E(Y1) +E(Y2) +... + E(Vn)
=nE(Y1)
である.
=m(2p-1)
であり
V(X)=V(Yi) + V(Y2)+…+ V(Yn)
= nV (Y1)
=4np(1-p)
である.
(2) kk=0, 1, 2, … 100 を満たす整数とする. コイ
ンを100回投げて表がk回出るときのPの座標 X100 は
X100=k・1+ (100-k) (−1)
=2k-100
