写真の解説の部分を見ていただきたいのですが、どうして下に凸や上に凸のグラフだとわかるのですか。また、なぜ通る点がわかるのか教えてほしいです。解説の言っていることが全体的に分からなくて、、

基本 例題 90 2次不等式の解から係数決定 00000 (1) xについての2次不等式x2+ax+b20 の解が xs-1, 3≦x となる ように, 定数a, bの値を定めよ。 (2)xについての2次不等式 ax²-2x+b>0の解が2<x< 1 となるよ うに、定数α, bの値を定めよ。 CHART & SOLUTION 2次不等式の解から係数決定 2次関数のグラフから読み取る => 答 y=x+ax+b のグラフが xs-1, 3≦xのときだけx軸を含む上側にある。 下に凸の放物線で2点 (1,030) を通る。 y=ax²-2x+b のグラフが-2<x<1のときだけ軸の上側にある。 上に凸の放物線で2点 (2,0), (10) を通る。 (1)条件から, 2次関数 y=x2+ax+b のグラフは,x-1,3≦x のときだ けx軸を含む上側にある。 すなわち、下に凸の放物線で2点 (1,030) を通るから 1-a+b=0, 9+3a+b=0 これを解いて なんで α=-2,b=-3 わかった (2)条件から, 2次関数y=ax²-2x+b のグラフは,-2<x<1のときだけx 軸の上側にある。 すなわち, 上に凸の放物線で2点 2010 を通るから a<0 0=4a+4+b 0=α-2+b ① ① ② を解いて a=-2, b=4 3 基本 87 (1)x13xを 解とする2次不等式の1つ は (x+1)(x-3) 20 左辺を展開して x²-2x-3≧0 の係数は1であるから、 x2+ax+b≧0の係数と比 較して α=-2,b=-3 inf 2つの2次不等式 ax2+bx+c<0 と a'x²+b'x+c<0 の解が 等しいからといって,直ち に a=α', b=b',c=c とするのは誤りである。 + 1 対応する3つの係数のうち、 少なくとも1つが等しいと きに限って、残りの係数は 等しいといえる。 例えば, c=c' であるならば、 |a=a', b=b' といえる。 151 3歳 11 2次不等式 これは α <0 を満たす。 PRACTICE 90® xについての2次不等式 ax²+9x+2b>0 の解が4<x<5 となるように, 定数a, bの値を定めよ。 36m>4

2番の問題がわかりません 微分係数の定義はしっかり理解したつもりですがわからないです h→0ならなんで-3→0が成り立つんですか？

重要例題 197 関数の極限値(2) ･･･ 係数決定・微分係数利用 =3を満たす定数a, b の値を求めよ。 x+ax+b X 等式 lim x-1 x→1 * f(a-3h)-f(a) lim をf'(α) を用いて表せ。 h→0 h 指針 (1)x1のとき, 分母x-10であるから,極限値が 存在するためには,分子 x+ax+b→0でなければなら ない (数学Ⅲの内容)。 一般に lim f(x) x-c g(x) =αかつlimg(x) = 0 なら limf(x)=0 xc XIC まず, 分子 → 0 から, aとbの関係式を導く。 次に,極限値を計算して, それが=3となる条件から (2)微分係数の定義のf(a)=limf(a+h)-f(a) h-0 h する。 00000 基本 次の関数 =1 (3) y= k (0) 極限値存在せず 必要条件 α, bの値を求める。 が使えるように、式を変化 (1) lim(x-1)= 0 であるから x→1 (th) 解答 ゆえに 1+α+6=0 よって b=-α-1 ...... ① (S) x2+ax+b x2+ax-a-1 lim(x2+ax+b)=0 x→1 必要条件。 注意 必要条件である b=-a-1 このとき lim =lim- x→1 x-1 x→1 x-1 (x-1)(x+α+1) x-1 =lim(x+a+1) 【チェ) mil成り立つような a,bの個 を代入して (極限値)=3か を求めているから x→1 解答 =lim x→1 a =a+2 a=1,b=-2 は必要十分条件である。 韓国) α+2=3から a=1 ①から b=-2 * (2)→0のとき, -3h0であるから I-X f(a+ロ)-f(a) lim h→0 f(a-3h)-f(a) lim- f(a+(-3h))-f(a) -=lim h→0 h h→0 -3h =f'(a)·(-3) I+ =-3f'(a) 別解 -3h=t とおくと, h0 のとき 0 であるから (与式)=lim f(att)-f(a) t-0 t=lim f(att)-f(a) - t-0 t (-3) 3 =-3f'(a) =(xxmil =f'(a) □は同じ式で, m 0のときロー □の部分を同じものにす るために, 形をしている。 → 10 とき3h0 だからといっ (与式)=f(a)として は誤り ! のような M

(2)の場合分けについて質問です。私は問題を解くときに(i)0<a<2(ii)2≦aのように解答と逆に＝をつけて場合分けしたのですが間違いですか。≦は確か、<または＝、と言う意味だったと思うのですが、、、 よろしくお願いします。🙇

重 定価 とき 146 基本例 85 2次関数の係数決定[最大値 DO |(1) 関数y=-2x2+8x+k (1≦x≦4) の最大値が4であるように、定数の値 | (2) 関数y=x2-2ax+α2-2a (0≦x≦2) の最小値が11になるような正の定数 を定めよ。 また、このとき最小値を求めよ。 a の値を求めよ。 基本8082 重要 6 指針 関数を基本形y=a(x-b)'+αに直し, グラフをもとに最大値や最小値を求め、 (1)(最大値)=4(2) (最小値) =11 とおいた方程式を解く。 (2) では, 軸x=α (a>0) が区間 0≦x≦2の内か外かで場合分けして考える。 CHART 2次関数の最大・最小 グラフの頂点と端をチェック 区間の中央の値はって あるから,軸x=2は区 間1≦x≦4で中央より 左にある。 解答 (1) y=-2x2+8x+k を変形すると y=-2(x-2)2+k+8 y k+8--- 最大 よって, 1≦x≦4においては, 右の図から, x=2で最大値+8 0 1 2 をとる。 ゆえに k+8=4 最小 よって k=-4 んの方程式を解く。 このとき,x=4で最小値 -4 をとる。 最大値を4とおいて、 (2) y=x2-2ax+ α-2a を変形すると y=(x-a)²-2a [1] 0<a≦2 のとき,x=αで 最小値 2α をとる。 [1] y 軸 11 a 2a=11 とすると α=- 2 0 2 x これは 0<a≦2を満たさない。 [2] 2<αのとき, x=2で の 「αは正」に注意。 0 <a≦2 のとき, 軸 x=αは区間の内。 頂点 x=αで最小。 の確認を忘れずに。 -2a 最小 2<αのとき, 軸x=aは区間の右外。 →区間の右端 x=2で最 最小値 22-2a・2+α2-2a, つまりα-6a+4 をとる。 α-6a+4=11 とすると α²-6a-7=0 [2] YA a2-6a+4! 最小 a これを解くと a=-1,7 02 2 <αを満たすものは a=7 以上から、求めるαの値は α=7 -2a (a+1)(a-7)=0 の確認を忘れずに。 85 んの値を求めよ。 練習 (1) 2次関数y=x²-x+k+1の-1≦x≦1における最大値が6であるとき, 定数

なぜ上に凸になるのかが分かりません。 教えていただけると助かります！

25 2次不等式 (3) |不等式の解 と係数決定 重要例題 82 2次不等式 ax²+5x+b>0 の解が 2<x<3 となるように、 定数 α, bの値を定めよ。 ポイント 1 グラフで考える。 ax²+5x+b>0の解が 2<x<3 2 3 ⇔y=ax2+5x+b のグラフが 2<x<3 の範囲でx軸より上方 にある。

赤線引いているところどうやって求めたんですか？

00 の値 定数 86 重要 例題 86 2次関数の係数決定 [最大値・最小値] (2) 00000 [定義域を0≦x≦3 とする関数 f(x)=ax2-2ax+bの最大値が9, 最小値が1の とき、定数a,bの値を求めよ。 ・基本 85 指針 この問題では,x2の係数に文字が含まれているから, αのとる値によって, グラフの 形が変わってくる。 よって、次の3つの場合分けを考える。 a=0 (直線), a>0(下に凸の放物線), a<0 (上に凸の放物線) a0 のときは,p.137 例題 80と同様にして,最大値・最小値を a, b の式で表し, (最大値)=9, (最小値)=1から得られる連立方程式を解く。 147 なお,場合に分けて得られた値が, 場合分けの条件を満たすかどうかの確認を忘れな いようにしよう。 3章 ⑩ 2次関数の最大・最小と決定 関数の式を変形すると で 52 解答 [1] α=0のとき 区 より f(x)=α(x-1)2-a+b f(x)=b (一定) となり、条件を満たさない。 [2] a>0のとき y=f(x) のグラフは下に凸の放物 線となり,0≦x≦3の範囲でf(x) はx=3で最大値f(3) = 3a+b, x=1で最小値f (1) = -a+b [a>0] 軸 最大 GIT まず基本形に直す。 常に一定の値をとるから, 最大値 9, 最小値1をと ることはない。 軸は直線x=1で区間 0≦x≦3内にあるから, a>0のとき 軸から遠い端 (x=3) で をとる。 したがって 100 最小 3a+b=9, -a+b=1 x=0x=1 x=3 これを解いて a=2, b=3 最大, 頂点(x=1) で最 小となる。 これはα>0を満たす。 この確認を忘れずに。 8118

ここの増減表の書き方を教えてください

基本 例題 182 極値から係数決定 ①のののの (x)=x+ax-3.x + b とする。 f(x) は x=1で極小になり、x=cで極大_ 値5をとる。 定数a, b, c の値とf(x) の極小値をそれぞれ求めよ。 CHART & SOLUTION (α) が極値f' (α)=0 (必要条件) f(x)がx=1で極小になる →S'(1) = 0 f(x)がx=cで極大値5をとる→f'(c)=0,f(c)=5 基本180 ただし、f'(1) = 0, f'(c) =0 であるからといって, x=1で極小, x=c 極大になるとは限 らない(必要条件)。 解答の 「逆に」 以下で十分条件であることを確認する。 0 解答 f(x)=3x2+2ax-3 f(x)はx=1で極値をとるから 3.12+2a 1-3=0 よって 逆にこのとき f'(1)=0 ゆえに a=0 ***** ① f'(x) =3x²-3=3(x+1)(x-1) (1)=0 は必要条件で あるから,これより得ら れる a=0 も必要条件 に過ぎない。 f'(x) = 0 とすると x=±1 f(x)の増減表は次のようになる。 x ... -1 ... 1 f(x) + 0 0 + 増減表を作って, a=0 が十分条件であること を確かめる。 別 x=1で極小, x=c f(x) 極大 極小 とな 287

こういう式が難しい時の増減表の矢印ってどうすれば分かりますか？

基本 例題 78 関数の最大・最小 (1) (増減表利用) C00000 関数 f(x) =e*sinx の最大値、最小値を求めよ。 ただし, 0≦x≦とする。 π p.132 基本事項 3 基本 76 CHART & SOLUTION 最大・最小 増減表を利用 極値と端の値に注目 ****** 3 π 4 f'(x) =0 とすると 3 4 まず、与えられた区間で増減表を作ることから始める。 区間の両端の値と極値を比較して, 最大・最小となるものを見つける。 解答 f'(x)=-e-*sinx+e*cosx=e^*(−sinx+cosx) =√2e-sin(x+12/17) sin(x+1)=0 ex>0 ← (fg)' =f'g+fg' xS)(I- 三角関数の合成 (S+ 0<x<2であるから 3 3 5 -π<x+⋅ π 4 4 4 よって x+ π=π 3 4 YA 1 π ゆえに y=esina x= 4 最大 π 0≦x≦2 における f(x) x 0 : の増減表は右のようにな f'(x) 40 + - I π π 2 最小 4 2 e2 -+--- る。 極大 ①ここで 01 π e 2 したがって, f(x) は x= =7で最大値 4 1 π " 2 e f(x) 07 (S)(I+) x=0 で最小値0 をとる。 1 f(0)<j π π π √2 e2 e 4

数Ⅱの式の問題です。 なぜxに-2.-1.0を代入しているのですか？

研究 代入による恒等式の係数決定 前ページ例題3は,次のように解くこともできる。 解答 等式の両辺のxに-2,-1,0をそれぞれ代入すると 1 5=c, 2=a+b+c, 1=4a+26+c これを解くと a=1,6=-4,c=5 逆に,これらの値を右辺に代入して整理すると左辺と一致し, 与 えられた等式はxについての恒等式である。 よって a=1.6=-4.c=5 「逆に,」から始まる1文が解答に必要な理由を説明してみよう。 K?】 練習 1 恒等式となるように, 定数a, b, c の値を定めよ。 等式 x+2=ax(x-1)+6(x-1)(x-2)+c(x-2)x がxについての

数2の質問です！ 261の印がついているところは どこから読み取れるのかを教えてほしいです！！ よろしくおねがいします🙇🏻‍♀️՞

テーマ 118 面積から係数決定 応用 放物線y=ax-x2(a>0) とx軸で囲まれた部分の面積が、 9 2012になるよう S={* (x²-6x+8)dx+ {*{−(x²-6x+8)\dx -3x2+8x な定数の値を求めよ。 まず、損を用いて表す。それが1になることからの方程式を作る 解答 この放物線とx軸の交点のx座標は, axx=0を解いて x=0, a xsaでは20であるから,この放物線と x軸で囲まれた部分の面積Sは S 31a s-lar 2)dx= 0 3 Jo 6 a³ 9 これが123と等しいから = 6 2 すなわち a³=2t >0であるから α=3 答 ✓ 261 放物線y=x-2ax (a>0) とx軸で囲まれた部分の面積が 練習 になるような定数の値を求めよ。 テーマ 119 絶対値を含む定積分 -3x². -1216)-(-3+8)) +-9+27-20-1 +12-16) 260 (1) 方程式 x2-3x+5=2x1 を解くと, 5 S x y=x³-3x+5 よって, 求める面積 2 3 エ Ay=2x1 32 3 x-5x+6=0 より x=2,3 Sは,図から S=S,{(2x-1)(x^2-3x+5}}dx (-x2+5x-6)dx 5 -6x 45 -(-9+18)-(+10-12)- [別解 [積分の計算 [積分の計算] S=S(x+4x-5)-(x-4x+1))dx =S-2x+8x -2x+8x-6)dx =2f(x-1)(x-3)dx=/(31=" 261 この放物線と軸の 交点のx座標は、 x2ax=0を解いて *=0. 2a 0x200 である から、この放物線と x軸 で囲まれた部分の面積Sは 24 (2) 0≤x≤4 =S"1-(2-2ax)dx=S" (-x+2ax)dx S= (2a) 3 3 +a-(2a)²= これが2と等しいから 1230-203 すなわち a3=8 a=2 >0であるから [積分の計算 S=S="-(-2ax)dx=_ x(x-2a)dx x-16 4x したが 応用 254 s=${(2x-1)(x_3x+5)}dx 825

どうしてオレンジ線のところの式が成り立つのか教えてください。

236111 A 13 宮崎大] 100 (川女子大) *245 f(x)=x3+ax2+bx+c とする。 曲線 y=f(x) は直線 y=x+3 と点 P(-1, 2) で接している。 また, 曲線 y=f(x) 上の点Q(2, f (2)) における接 線は点Pを通る。このとき, 定数a, b, c の値を求めよ。 ASO [05 津田塾大〕