基礎問
119 回転体の体積 (IV)
2つの曲線 y=sinz (02), y=cosz (02) について
次の問いに答えよ.
(1) 2つのグラフの交点のx座標 α, B(0 <α <B<2z) を求めよ.
(2)u≦x≦β において,2つのグラフで囲まれた部分を軸のまわり
精講
に1回転してできる立体の体積Vを求めよ。
(1) 三角方程式 sinr=cosx を解くことになりますが、2つの方
法があります。
(2) 回転するべき図形は, 回転軸 (x軸) の両側にまたがっていま
すから117 の要領で式を立てますが,図を見るとある特徴があります。
解答
(1)sinx=cosx において, COSI = 0 とすると,
sinx = 0 となり, sin'x+cos'x=1 をみたさないので矛盾.
よって cosx≠0 である.
両辺を cosx でわると, tanx=1
0≦x≦2 だから, x=- TC 5л
4'4
a<B だから、u=7B=5
4
(別解)(IIBベク59: 三角関数の合成)
sinr=cosr } sinx-cosx=0
合成して√2 sin(エース)=0
TC
ニュースだから、エース=0, π
X=-
4
TC 5π
4'4
a<Bより4=4B=
B=57
4
(2) 2つのグラフで囲まれた部分とは, <図I> の斜線部分で求める体