35で割ると2余り, 14で割ると5余るような自然数のうち,3桁で最大のものを求めよ。
[解答 957
求める自然数をn とすると, nはx,yを整数として,次のように表される。
n=5x+2, n=14y+5
よって
5x+2=14y+5
すなわち 5x-14y=3
......
①
x=9, y=3は①の整数解の1つであるから
5・9-14・3=3
②
-
-②から
5(x-9)-14(y-3)=0
すなわち 5(x-9)=14(y-3)
5 と 14 は互いに素であるから, x9は14の倍数である。
よって, kを整数として, x-9=14k と表される。
ゆえに
よって
x=14k+9
n=5x+2=5(14k+9)+2=70k +47
70k +47 が3桁で最大となるのは, k=13のときで
n=70・13+47 = 957