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※3 数直線と命題-
(1) ²を実数,αを整数として, 集合P, Q, R をそれぞれ
(中京大・情)
である.
とするとき,PCQCR を満たすαの最小の値は |
(日本大 文理 (文系))
(2) 命題「a<r<a+2ならば,-10-24<0である」が真となる定数aの値の範囲は
である.
P= {x1/2 - 13/23}. Q=(x|z²+18r+7920), R={x|lx| ==}
実数の集合は、 数直線上で考えよう
例えば,
や共通部分, 和集合, 補集合などが視覚的に考えられるようになり, 分かり易くなる.
2 3 4
不等式の命題は、 数直線上の区間どうしの関係からとらえる
「3<x<4ならば, 2<x<5である｣ という命題の真偽は, 数直線上で,2つ
の集合A={z|3<x<4},B={x|2<x<5}について, ACBが成立する・成
立しないと一致する. つまり、区間3<x<4が区間2<x<5の中に含まれる ・ 含まれないに一致する。
いまは,右図により,この命題は真である. このように,不等式で表された命題については, 数直線上
の区間の包含関係によって視覚的にとらえることができる.
■解答
13
(1) |x-¹12³ 3のとき,
13
2
x2+18x+79≧0のとき、x≦-9-√2 または
α=-9-√2,β=-9+√2 とおくと,
7
19
Pは「xs12/20または 1/2」
「x≦
実数の集合を数直線上に図示すれば,集合どうしの包含関係
a
≦-3または3≦ェー
Qは 「x≦α または β≦x」
であり, 数直線上に図示すると図1のようになる.
PnQは図1の網目部であるから,PNQは図2
の網目部である. これがR : 「--
-25152/20 に
3羽照
13
2
9+√2≦x
図1
-Q
a B
-2
図2
a
AB
R
07
2
0
7
2.
-P
19
2
[
19
2
含まれる条件は、
19
a
|a|> に注意すると】
Ma .az-2a=2(9+√2)
よって, a≧2×10.4･･･=20.8･･･ だから, 答えはα=21
2
(2)-10-24<0のとき, (x+2)(x-12) < 0 .. -2<x<12
したがって,a<x<a +2ならばー2<x<12となるαの条件を求めればよい.
右図により, その条件は,
ー2≦aかつa+2≦12
-2≤a≤10
X
a a+2 12 x
整理すると、
7 19
2
VI
19
2
|a|=9+√2 >10>-
等号がつく、つかないに
