※3 数直線と命題- (1) ²を実数,αを整数として, 集合P, Q, R をそれぞれ (中京大・情) である. とするとき,PCQCR を満たすαの最小の値は | (日本大 文理 (文系)) (2) 命題「a<r<a+2ならば,-10-24<0である」が真となる定数aの値の範囲は である. P= {x1/2 - 13/23}. Q=(x|z²+18r+7920), R={x|lx| ==} 実数の集合は、 数直線上で考えよう 例えば, や共通部分, 和集合, 補集合などが視覚的に考えられるようになり, 分かり易くなる. 2 3 4 不等式の命題は、 数直線上の区間どうしの関係からとらえる 「3<x<4ならば, 2<x<5である｣ という命題の真偽は, 数直線上で,2つ の集合A={z|3<x<4},B={x|2<x<5}について, ACBが成立する・成 立しないと一致する. つまり、区間3<x<4が区間2<x<5の中に含まれる ・ 含まれないに一致する。 いまは,右図により,この命題は真である. このように,不等式で表された命題については, 数直線上 の区間の包含関係によって視覚的にとらえることができる. ■解答 13 (1) |x-¹12³ 3のとき, 13 2 x2+18x+79≧0のとき、x≦-9-√2 または α=-9-√2,β=-9+√2 とおくと, 7 19 Pは「xs12/20または 1/2」 「x≦ 実数の集合を数直線上に図示すれば,集合どうしの包含関係 a ≦-3または3≦ェー Qは 「x≦α または β≦x」 であり, 数直線上に図示すると図1のようになる. PnQは図1の網目部であるから,PNQは図2 の網目部である. これがR : 「-- -25152/20 に 3羽照 13 2 9+√2≦x 図1 -Q a B -2 図2 a AB R 07 2 0 7 2. -P 19 2 [ 19 2 含まれる条件は、 19 a |a|> に注意すると】 Ma .az-2a=2(9+√2) よって, a≧2×10.4･･･=20.8･･･ だから, 答えはα=21 2 (2)-10-24<0のとき, (x+2)(x-12) < 0 .. -2<x<12 したがって,a<x<a +2ならばー2<x<12となるαの条件を求めればよい. 右図により, その条件は, ー2≦aかつa+2≦12 -2≤a≤10 X a a+2 12 x 整理すると、 7 19 2 VI 19 2 |a|=9+√2 >10>- 等号がつく、つかないに