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51のn乗根-
(東北学院大·文,教養)
(イ)複素数2はz%=cos72°+isin72° とする。
O(1)z"=1となる最小の自然数nはn= である。
(2) 2+z+2?+z+1=[ , cos72°+cos144°= である。
(西南学院大·文)
z"=1を満たすa (=1のn乗根)
2"ー1=(z-1)(2ガ-1+2"-2+……+z+1)
となるから、2"=1のときえキ1ならば、2"-1+z"-2+…+z+1=0を満たす。
次に,ド、モアブルの定理を用いて, z"=1 を解いてみよう. z"=1により,
|2|*=|2"|=1であるから, |2|=1であり, z=cos0+isin0 (0名0<2x)と
おける。ド·モアブルの定理により, z”を計算する。
2"=1のとき,cosn0+isinn0=1
; n0=2x×k (0Sn0<2x×nにより, k=0, 1, 2, …, n-1)
2サー1を因数分解すると,
22
21
|20
1℃
23
24
25
. cos n0=1, sinn0=0
n=6の場合
0を求め,1のn乗根は, 2k=Cos
2元
-×
n
2元
k+isin( ×k)(k=0, 1, 2, ……, n-1) のn個
n
点2は,図のように点1を1つの頂点とする正n角形の n個の頂点になっている。
■解答
(ア)a-1=0により, (α-1) (α*+a°+α?+a+1)=0
α=1のときA=24=16 である. 以下, αキ1のときとする。
a=1のとき, a8=a".α°=a°であるから,
■Aを(ひとまずはα"=1を使わ
ず)展開すると,
1+a+a?+…+a'5
ここでa=1を使うと
1+a+a?+α°+a*
+(1+a+a?+α3+α*)
=(1+a+a?+a®) (1+α°+α*+a") (: α'=1により α'=α°)
αキ1とのにより, 1+α+α°+α3+a*=0… ② であるから,
A=(-a^) (-a)=α"=1
(イ)(1) z"=cos (72°×n)+isin(72°×n)… 0 であるから,
2"=1 → 72°×nが360°の整数倍 → nが5の整数倍
よって,求めるnは, n=5
(2) 2-1=0により, (z-1)(2+2°+z?+z+1)=0
2キ1により,ztz°+z?+zt130
これに①を代入する. 実部%3D0 である, 72°×5=360° に注意して,
cos(72°×4)+cos (72°×3) +cos (72°×2)+cos72°+1=0
cos(-72°) +cos(-72°×2) +cos (72°×2) +cos72°+1=0
となるので,αキ1のとき②から
A=1
94
21
22
72°
23
. 2cos72°+2cos(72°×2)+1=0
cos72°+cos144°=-
2
5演習題(解答は p.66)
1) 複素数zが, z°=1, zキ1を満たすとき,(1-z)(1-z?)=[ア],
1
11
イ」
1-z
1-22
2)複素数zが, z5=1, zキ1 を満たすとき,(1-z)(1-2?)(1ー)(1-7)
