3 次元デカルト空間のベクトル場 A (x, y, z) = (x^2 − 3y^2, y^2 + z^2, z^2 − 6x^2) (1) を考える。 領域(0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b, 0 ≤ z ≤ c) の直方体の領域をV , その表面 を∂V とす... 続きを読む

体積分と面積分の求め方がわからないです。 お願いします🙏

5. F= xyi+z2j+yzk b. V = (x, y, z); x² + y² + z² ≤ 1 O (TOL) して, FdV を求めよ. また, S1 = {(x,y,z);x2+y2+22=1,2≥0}, S2 = {(x,y,z);x2+y2 <1,z = 0} とするとき, S1 と S2でつくられた表面 S に対して F.nds, (VX FdS (▽xF) dS を求めよ. S S に関し

電磁気の問題です。大至急解き方を教えていただけないでしょうか……。全く解き方がわかりません。どなたかどうかお願いします

問題5 (この問題では適宜対称性を援用せよ.なお, 1) 2) では Ia はIのままで計算すれば よい. 3) では Ia の表式の計算が必要となる) 極板が半径rの金属円板, 極板間距離がl の (十分理想的な) 平行板コンデンサがあるとする. いまこのコンデンサは充電中であるとする. 充電中には極板間の電場は時間変化するが, 空間的には一様 (極板間のどこでも同じ) であると仮定する.また, 2枚の極板が底面(上面・ 下面), 高さlの円柱を考えておこう. の → 1) 極板間では電流密度はすであるが,変位電流密度 J = o はすではない。極板間 で極板と同じ半径rの円板面をDとするとき をDにおいて面積分したものを,変位電 at 流La=pn as とする。 上記の仮定より Laは極板間で一様となる。変位電流 I』が上記 Jar Hola の円柱の側面に作る磁場の大きさBがB= となることを示せ. 2πr 2) 極板間の電位差を Vとする. 上記の円柱の側面におけるポインティングベクトルの大きさ Sを計算し, Sを側面にわたって積分したものを W とすると W = VI』 となることを示せ . πr² 3) 定数Cを C= com とおく。 時刻がt=0〜tのときに、電位差がV= 0〜V と変化した l とする.このとき, 2) の Wを積分すると - wa = 1/2 CV2 となることを示せ。 W dt

答えの二行目の、単位法線ベクトルがなぜそうなるのかがわかりません。分かる方教えてください🙇‍♀️

第2章 微分積分 例題 2.19 A(0,1,5), B(2,1,5),C(2,4,5), D(0,4,5) を頂点とする平面Sに関して、 ベクトル関数 V = (x,y, ryz) の面積分を求めなさい.ただし,軸の正の 向きをSの面積ベクトルの正の向きとします (図 2.31 参照). 拡大 n A(0,1,5) n D(0,4,5) dsc C(2,4,5) B(2,1,5) 2.31 例題 2.19の説明図 答え 平面Sは,軸に対して垂直であるため, 平面Sの単位法線ベクトルn は,n= (0,0,1) となります.また, 面Sを図 2.31 のように軸,y 軸に 平行な直線で格子状に分割し,この分割を極限まで細かくしたときにでき る微小領域の面積をds とします. この微小領域の縦, 横の長さをそれぞれ dx, dy とすれば,ds = dx dy と表されます. これを用いて,式 (2.119) を 計算すれば [(v.n) n) ds = •£₁ £₁² (2²·0+ y · 0 + ² xyz.1) dxdy 10 となります.ここで, 平面 S上では, z=5であるため 42 141012 4 2 £*£² (2² · 0 + y +0+ xyz dady=5 SS エ x-y 5 4 = 10 と求められます. .2 2 d.S dy (2716 xy dxdy 2 dy 1 0 = 75 2 2 2.

どうしてもわかりません。詳しく解説してほしいです。

問題 4. ガウスの法則を使った計算では, ベクトル空間における面積分を行なう必要がある. この問題は, ベクトル空間における簡単な面積分の計算例を示している。 今,ベクトル関数 F(x, y)=(xrty)k とする. つまり,このベクトル関数は, 下図のように x-y 平面 上において方向が : 方向のベクトルで, その長さは, x とyによって変化する。 (kは, z 方向の 基本ベクトル) (1)下記の図には, このベクトル関数 F (x, y)のx-y 平面上の座標 (8,0,0) と (8,8,0) における ベクトルを例として示している。 図中に, 座標 (3,0,0), (3,2,0), (3,4,0), (3,6,0), (3,8,0)におけるベクトルを図示せよ。 (2) x-y 平面上で, ベクトルF(x, y) と面素ベクトル dS の内積F.dS を面積分する。 面素ベク トル dS を基本ベクトル(i, j, k (3) x-y平面のx-0~8, y=0~8についての下記の面積積分を求めよ。 を用いて示せ。 *8 -8 *8 8 J,P-dS = F-dS=f*_」(x+y) ds = f°_.S_(x+y)dxdy x=0 Jy=0 x=0 Jy=0 2 18 16 14 12 10 8 6 4 2 2 3T4 5 6 7 8 x ベクトル関数 F(x, y)=(x+y)k

お願い致します。教えてください。

第3問 ryz 空間内の曲面 S1, S2を次で定める。 S,:2=1--y°, : >0 S2:曲面++2? =4と領域(r-1)? + y?< 1, z >0の共通部分 (S1, S2 のどちらも原点から見える側をウラとする) また、R3 上のベクトル場 F,F2をF(r, y, z) = (zz, yz, ry), F2(z, y, z) = (yz?, 2?a, ryz) と定義する.以下の問いに答えよ。 (i) 面積分 | F dS を,面積分の定義にしたがって計算せよ。 Si = 0, ° + y°<1 (z 軸正の方向から見える側がウラ)と定義し, F- dS を,ガウスの発散定理を用いて体積分になお (ii) 曲面 S, をSi:z S= S,+ $, とおく、面積分 | して計算せよ。 (ii)面積分 V×F2-dS の値を求めよ。 S2

この半球のパラメータから方程式を出すことってできますか⁇🤔

スカラー場 f(r) = « について、 曲面S= {r(u, v) = (sin u cos v, sin u sin v, cos u)|u, v e D} 上で面積分を行え。 パラメータの領域はD={0<u<,0<u< 2m} とする。 1-1

写真の問題1～3の解法を教えてください。

すること 問題1 xyz 直交座標系の点(x, y, z)において、以下の式で示されるベクトル場 AとBがある。z=0のxy 平 面で、原点を中心とする半径1の円周上の点において、AとBがどのようできるかを図示しなさい。 x A(x, y, z) =(2+ y? y 0 x2 + y? B(x, y, z) = |2+ y?x? +y? 問題2 ベクトル場A とBについて、高さ方向の中心軸がz 軸と重なるように置かれた高さ1、半径aの円 柱表面Sの上で面積分した値をそれぞれ求めなさい。 円柱の下面はz=- 1/2、上面はz= 1/2 に置かれてい るとする。 問題3 原点を中心とするz=0 の平面上の半径aの円周Lを考える。ベクトル場AとBについて、 この円 周をz軸の正方向から見て反時計回りに線積分した値をそれぞれ求めなさい。 問題4 問題 1から3の結果および物理学 III の教科書のガウスの法則およびアンペールの法則の記述を参 考にして、ベクトル場AとBは、電磁気学において、 それぞれどのような物理量によって生ずるのか、さら に、その物理量は xyz 直交座標系のどの位置に存在しているのかについて論じなさい。(ヒント:面積分や線 積分の値が a→0やa→0の極限でどうなるかを考えてみるとよい。) 以上

大問3の(4)が分からないので教えてください。

III. ベクトル aの曲面S上における外向き法線方向の面積分を Gauss の発散定理を用いて体積分に 変換して求めよ (1) 原点を中心とする半径4の球面をSとするとき, a={3x, 2y, 2]. (2) 原点を中心とする半径1の球面を S とするとき, a= [3z°y*z?,3y - 22, -2zy*z]. (3) 原点と点 (1,1,1)を頂点とする一辺の長さが1の立方体の表面をSとするとき, a=D{4ryz,°,2}. (4) 3つの座標平面と平面 y=D1 と平面2 3D2-x で囲まれてできる立体の表面をS とするとき, a=?,2.ry, z°]. 4.2

線積分まじでわかんないです。 解説もお願いしたいです。。。。 お願いします！！！！

1. ある曲線Cについて、 次の線積積分を考える。 ただし、 sは弧長を表すものとする。 x(1+y)ds (1)曲線Cとして、 原点0、 点 A(1,0)、 点 P(1.2)を結ぶ線分を考えるとき、 上の積分を求めよ (2) 曲線Cとして、原点0と点P(1.2)を結ぶ線分を考えるとき、 上の積分を求めよ。 2. ある曲線Cについて、 次の線積分を考える。ただし、 sは弧長を表すものとする。 | (xy + z)ds 曲線Cとして、点 P(0,0,3) と点Q(1,2,2)を結ぶ線分を考えるとき、 上の積分を求めよ。 3. 領域Sが()内の不等式で表される xy 平面上の領域のとき、 次の積分を求めよ。 (1) || e*+y dxdy (S:x >0,y>0,x+y<1) (2) || ydxdy (S:x?+y? <4,y>0)