例4 a1 = 1, an+1 = V2an+1で定義される数列{an} の極限が
存在することを証明し,その極限を求めよ.
まずこの数列が単調数列であることを示す. 定義により,
An+1 - an
=
√2an +1
V2an-1 +1
(2an+1) - (2an-1 + 1)
=
V2an + 1 + V2an-1 +1
2(an - an-1)
=
V2an + 1 + V2an-1 +1
である. よって,an+1 -a と an
であるから a1 < a2 であり、 よって
は同符号であり, a1 = 1, a2= V3
①
A1 < A2 < A3 < α4 < . . .
となることが分かる. よって,{an}は単調増加数列である.
次に適当に am<3と見当をつけると,an+1= V20 +1.
2
3となり,{a}は上に有界である.
V23+
よって,{a} は収束する.そこで, lim an = a と置く. このとき,
n→+∞
a = √2a +1が成り立ち, α = 1 ±√2 を得る. 今, an >0よりα > 0 で
あり,よって,
を得る。●
lim a = 1 + V2
n→+∞
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