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48第2章 関数 (1変数)
基本 例題 030 E-8 論法による等式の証明
次の等式をE-8論法を用いて証明せよ。
(1) lim (5x-3)=2
(2) lim (x2+1)=2
x-1
1
基本
指針 (1) とも, 左辺の極限値は存在して, 右辺と一致することは,すぐにわかる。 そのこい
E-8論法を用いて証明せよとあるから、関数の収束の定義を今一度確認しておこう。
定義関数の極限 (E-8論法 )
任意の正の実数に対して、 ある正の実数8 が存在して、f(x)の定義域内の
0<x-a|<8であるすべてのxについて|f(x)-α|<e となるとき、関数f(x)は
12203054 [oclx-alk8 Hon-alc
x→αでαに収束するという。
⇒
(1)証明すべきことは、「任意の正の実数に対して、ある正の実数が存在して
0<|x-1|<8 であるすべてのxについて (5x-3)-2|< が成り立つ。」である。
基本 例題 031
€18
下の指針の定理について,
(1)
下の関数の極限の
(2)
下の, 合成関数の極
(5x-3)-2|=5|x-1|により, | x-1 <8ならば5|x-1|<5δ であることを利用すれば、
い。
(2)証明すべきことは、 「任意の正の実数に対して、 ある正の実数δが存在して
0<x+1|<8 であるすべてのxについて | (x2+1)-2|<e が成り立つ。」 である。
|(x+1)-2|=|(x+1)(x-1)|=|x+1||x-1|である。 x-1 であるから,xが-1に
い状況のみを考えればよく、例えばx+1|<1 すなわち-2<x<0であればx-1|<37
ある。
299-
指針定理 関数の極限の性質
関数f(x), g(x) お
したがってδを1より小さくとるとき,x+1| <δであれば | x+1| <1であり、このとき
|x2+1-2|=|x+1||x-1|<3|x+1| <38 となる。 これを利用すればよい。
[CH|A|R|T-8 論法が先,8が後
解答 (1) 任意の正の実数e に対して, 8= m とする。
d=
5
このとき,0<|x-1|<8=1であるすべてのxに対して
与式のxに1を代入す
れば極限値が2である
ことはすぐにわかる。
|(5x-3)-2|=5|x-1|<58=e
よって lim (5x-3)=2
(2) 任意の正の実数』に対して,=min {1, 2} とする。
このとき, 0<|x+1|<8であるすべてのxについて、
|x+1|<1であるから
x→1
|x-1|=|(x+1)-2|≦|x+1|+2<1+2=3
また,x+1|< であるから
|(x2+1)-2|=|x+1||x-1|<13×3=e
よって
lim (x2+1)=2
X-1
指針にある通り後の
計算を見越して,ô=
としている。
< (1) と同様に,等式の極
限値が2であることは
すぐにわかる。
三角不等式。
[1] lim {kf(x)+
x-a
[2] limf(x)g(2
xa
定理 合成関数の極
関数f(x), g(x)
このとき,合成関委
E-δ論法による証
対応する の値を
(1)
f(x)
g(x)
の極限
る。 関数の値
える。
(2) 合成関数
f(a) に近づ
解答 (1) 性質 [2]
を任意の
limf(x)=
x-a
0<\x-a
成り立つ
ここで,
c0
から
limf(
x-a
48は1との大きく
ない方をとればよい。
更に、指針にある通り、
後の計算を見越して
8=1としている。
0<\x
が成
lim
x-a
