2 微分形のガウスの法則を用いて電場を求める
次に,微分形のガウスの法則
P(r)
V-E(r) =
€o
を用いて、平面電荷の作る電場を求めてみよう国,この場合,平面電荷を実は厚みdの板に一様な密度pで分
布している電荷だと考えることになる(図).この仮設は尤もらしい。なぜなら(厚みのない)2次元的な平面
電荷は実際には存在せず,見るものさしを細かくしていけば,いつかは厚みのある板状の一様電荷分布になる
だろうからだ、原点を板の厚みの半分のところにとり図口のように座標軸を導入する。こにでも対称性から、
(0,0, di2)
p
(0,0, -d2)
x
図7
電場はzにしか依存せず,z軸に平行な向きであることが分かる。よって(21) 式は次のようになる。
P
€O
(2.2)
0
||> d/2 について,対称性から E.(-2) = -E(2) であることに留意すると,
-E
(2く-d/2)
(2.3)
E
ただしEは定数、また|<d/2に対して
E.(2) = 2:+ D
(2.4)
Dは定数である国z= ±d/2 で電場は連続であるという条件から、
E(d/2) = 2d
(2.5)
2+D=E
E(-d/2) =
pd
+D=-E
(2.6)
€o 2
:E- d
2co
D=0.
(2.7)
** ひとまずふ関数を用いないで電場を求め,後でもう一度ふ関数を用いて解くことにする。
*9対称性の要請である E(-2) = -E.(2) を満たすためには D=0であることは分かる。
4
2012-05-21ver1, 22ver2, 2013-03-09ver3
ZSO
03Zsd
zad
ガウスの法則について
すなわち,
pd
2€0
P.
€O
pd
2€o
(-d/2<:くd/2)
(2.8)
(こ>d/2).
