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3章
8 関数とグラフ
つけ。
かけ。
重要
例題
立つ。これを場合分けに利用
幅1の範囲で区切り
≦2x<2,2x=2で場合分け、
1≦x<2, x=2で場合分け、
=-2
-2-101
きy=-2 (2)
y=-1
71 定義域によって式が異なる関数
関数f(x) (0≦x≦4) を右のように定義すると
次の関数のグラフをかけ。
(1) y=f(x)
指針
(2)y=f(f(x))
2x
(0≦x<2)
f(x)=
8-2x (2≤x≤4)
定義域によって式が変わる関数では, 変わる 境目のxyの値に着目。
(2)f(f(x)) f(x)のxにf(x)を代入した式で、
f(x) <2のとき2f(x)
f(x)のとき 8-2f(x)
(1)のグラフにおいて,0≦f(x) <2となるxの範囲と, 2≦f(x)≦4 となるxの範囲
を見極めて場合分けをする。
(1) グラフは図 (1) のようになる。
(2f(x) (0≦f(x)<2)
(2) f(f(x))= 18-2f(x) (2≤f(x)≤4)
よって, (1) のグラフから
0≦x<1のとき
1≦x<2のとき
2≦x≦3のとき
f(f(x))=2f(x)=2.2x=4x
f(f(x))=8-2f(x)=8-2.2x
=8-4x
f(f(x))=8-2f(x)=8-2(8-2x)
=4x-8
3<x≦4のとき f(f(x))=2f(x)=2(8-2x)
変域ごとにグラフをかく。
< (1) のグラフから,f(x)
の変域は
0≦x<1のとき
0≤f(x)<2
1≦x≦3のとき ①
2≤f(x)≤4
3<x≦4のとき
0≤f(x)<2
また, 1≦x≦3のとき,
f(x) の式は
y=0
1≦x<2なら
=16-4x
f(x)=2x
y=1
よって, グラフは図(2) のようになる。
y=2
(1)
(2)
y
ya
=x+1
-1
2
A
M
O
1 2 3
4
x
0 1 2 3 4
x
2≦x≦3なら
f(x)=8-2x
のように, 2を境にして
式が異なるため, (2) は左
の解答のような合計4 通
りの場合分けが必要に
なってくる。
-2=0 an
x= ntpと表されるとき、
とき, 01より
xの整数部分を表す記号であ
参考 (2) のグラフは,式の意味を考える方法でかくこともできる。
[1]f(x) が2未満なら2倍する。
[2]f(x) が2以上4以下なら, 8から2倍を引く。
[右の図で、黒の太線・細線部分が y=f(x), 赤の実線部分が
y=f(f(x)) のグラフである。] なお,f(f(x)) f(x) f(x) の
合成関数といい, (fof) (x) と書く (詳しくは数学Ⅲで学ぶ)。
とする。
8から2倍を
引く
4
2
0
4 x
2倍する
練習 関数f(x) (0≦x<1) を右のように定義するとき,
◎ 71 次の関数のグラフをかけ。
2x
(0 ≤ x < 1/1)
f(x)=
(1) y=f(x)
2x-1
(2) y=f(x))
11/1/1≦x<1)
