問6| R°の領域D上で定義された正則曲面p:D→R®は
E=G かつ F=0
を満たすとする.(このような(u, v) を等温座標系という.)ガウス枠ア= (pu, Pu, U)の微
分を用いて,行列値関数u, Vを
F= FU,
F。= FV
と定める。ガウス曲率を K, 平均曲率をHとする.正方行列U, V に対し [U, V] を
[U, V] = UV -VU
とおく、以下の問いに答えよ。
(1) KとHをE, L, M, N を用いて表せ、(答えのみで良い。)
(2) ガウス·ワインガルテンの公式はクリストッフェル記号T%(i,, k = 1,2) とワイン
ガルテン行列A=i-'iiを用いて次のように表される:
-T Pu+ T Pe+ Ly,
Puu =Ta Pu+T Po+ Mv,
Ta Pu+ T Po+ Nv,
V=-A P- APor
V,= -A Pu- A po.
Puu =
Puv =
「, , T, T, r, TをEを用いて表せ、また,A, A3, Ab, A3, を E, L, M,
Nを用いて表せ、(答えのみで良い。)
(3) U, Vを E, L, M, N を用いて表せ、(答えのみで良い。)
(4) U, V]を計算すると次のように表される:
E,(L- N) - 2E,M
0 -A
2E2
4, V =
E,(L- N) + 2E,M
0
A
2E2
B
C
0
A, B, C を E, L, M, N を用いて表せ、
(5) 可積分条件U。- V。= U, V), つまりガウス·コダッチ方程式は次のように表される:
A(log E) = EX,,
L,- M, = H X2,
M,- Nu = H X3.
このとき,X,, X2, X, をK, E を用いて表せ、
間7| nを整数とする。R? の領域 D上で定義された正則曲面p:D→R’に対して,その第一
