mustを自発的。自分でしなきゃ！ってなってる状態です。
have toは他者からの強制があります。
誰かからしろ！となってる状態です。
なので否定で意味がズレます。
mustn'tは自分ですることを否定してるので、してはいけない！となるのです。
don't have toは誰かからの強制がなくなるので、しなくていい、する必要がない。というニュアンスになります。

答える分、
Yes→must
No→have to
否定なら、
してはならない→must
する必要は無い→have to
肯定ならどちらでも可

mustの方がhave toよりもより強い感じがあります。mustが「絶対〜しなければならない。」という感じで、have toは〜しなければならないと訳しながらも、本質的には「〜する必要がある、した方がいい」という意味合いに近い気がします。have toの方が拘束力が弱いのが特徴です。