nに任された役割は、√の中を何かの2乗にすることです。
それを意識しながら考えると、まず、分母をはらわないといけません。よってnには5が含まれます。
そして次に、12を何かの2乗にしないといけません。12は2²×3と表せますよね。3があとひとつあれば(2×3)²と2乗で表せる事に気がつきます。よってnには3も含まれます。
したがって5と3のどちらの要素も含んでいる15が最小の数です。