簡単にいうと朝鮮半島の取り合いです。
日本としては一番近い陸地である朝鮮を列強の植民地にされることは死を意味します。そのため朝鮮を日本が支配することにしました。
ロシアは高緯度であるため冬でも凍らない港(不凍港)が欲しかったため、南下政策をとっていました。バルカン半島方面の南下政策が失敗したため極東方面の南下政策にシフトし朝鮮半島での影響力拡大を狙っていました。
これがざっくりとした理由です。
また戦後、ロシアは極東での南下を断念しバルカン半島への侵攻を再開し第一次世界大戦が起こります。
日本では日露戦争の勝利により世界での評価が高まったことが不平等条約の撤廃に貢献し、列強の仲間入りを果たしました。