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頂点Aから辺BCに垂線を下ろし辺BCとの交点をHとする。また点Bを通り直線DEに平行な直線を引き、辺ACとの交点をFとする。△ABHにおいて三平方の定理より64＝4＋AH^2
AH＞0よりAH＝2√15
△ABCの面積において
△ABC＝BC×AH×1/2＝4√15
また、△ABC＝AC×BF×1/2であるから
4BF＝4√15 すなわちBF＝√15
△BCFにおいて三平方の定理より
16＝15＋CF^2
CF＞0よりCF＝1
この時、AE:EF＝4:(4－1)＝4:3
(証明は省きますが)BF:DE＝7:4となるから
DE＝√15×4/7＝4√15/7
証明を省いた部分は平行線と線分の比を使うのもありですし、△ADEと△ABFの相似を証明してもいいと思います。
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