回答失礼します。
先に言っておきますが、大統領は
「議会」が作る法案に対しての拒否権があります。
それと、日本とアメリカの政治体制には
大きな違いが何個もあることを
頭の中に入れておいてください(画像参照)。

そもそも日本の首相(内閣総理大臣)は国会議員の中から選ばれたり、国会に座席があるため国会とは連携プレーがあります。しかし、アメリカの大統領は国会と連携プレーがありません。それは完全な三権分立を取っているからです。
では、行政権をもっている大統領は法案が作られる議会にどうやって発言をするのでしょうか？言った通り、完全な三権分立を取っているため手段がありません。

そこで決められたのが「教書」という文書です。
教書だ文書だと言われると、紙なんだなと勘違いされがちです。実は教書というのは教書演説のことで、憲法上で議会への文書を送れと書かれているだけなんです。実際には大統領が議会で演説をする形になっています。

最後に、大統領には法案提出の権限がないと仰っていますが、
「大統領には政治を行える権利があるだけで立法権がない」ということになります。
長文ですみません。