'sというのは｢〜のもの｣的な意味です。
上の英語だと｢動物の医者｣の意味ですが
下の英語だと｢動物が所有している医者｣って漢字で｢獣医師｣ではなく｢その動物だけの専属の医者｣的な意味になってしまうからダメなのではないのでしょうか。