これは少し考える必要がありますね.
細かく書くと下のような答案になります.
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(3-a)/2≧0⇔0≦a≦3のとき, 0<(3-a)/2≦x≦(3+a)/2となる.
ここで0≦a≦3なので3/2≦(3+a)/2≦3.
これはxの範囲に含まれる整数が多くとも1以上3以下であることを意味するから条件を満たせない.
(3-a)/2<0⇔a>3のとき, (3-a)/2[<0]≦x≦(3+a)/2となる.
この条件で正の整数xが5個含まれるためにはx=1,2,3,4,5が上の不等式に含まれなくてはいけない.
aが最小値となるのはxの最大値(3+a)/2[aに関して単調増加な1次関数]が5に一致する時でa=7.
このとき(3-a)/2=-2<0≦x≦5=(3+a)/2なので確かに条件を満たす.
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[補遺]
不等式はaは正の定数だから
|-2x+3|≦a⇔-a≦-2x+3≦a⇔(3-a)/2≦x≦(3+a)/2
として解いたほうが楽です.