二次関数なので

y=ax² (p≦x≦q)

ということですよね。
変化の割合は yの変化量/xの変化量 なので

(aq²-ap²)/(q-p)
=a(q²-p²)/(q-p)
=a(q-p)(q+p)/(q-p)
=a(q+p)

になります。