ひどい計算ミスをしていたのですべて取り換えます. ごめんなさい.
***
底辺がacmの正方形, 高さが10cmの正四角柱の体積はa*a*10=10a^2[cm^3]
これが600[cm^3]なので, 10a^2=600⇔a^2=60
[解1]　
ここでaは正の実数なのでa=√60
n<√60<n+1なる整数n, すなわち√60の整数部分nは7<√60<8からn=7である.
***
[解2] 上の事実に気付かなかった場合
一方, n<a<(n+1)ならばn*n<a*a<(n+1)*(n+1)⇔n^2<a^2=60<(n+1)^2が満たされなくてはいけません.
ここで
n^2<60⇔-√60<n<√60
60<(n+1)^2⇔n+1<-√60, √60<n+1⇔n<-1-√60, √60-1<n
なので共通範囲は√60-1<n<√60
ここで7.7<√60<7.8なので6.7=7.7-1<√60-1<n<√60<7.8
この範囲で整数となるのはn=7に限られます.