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(1)も間違っているので最初から解いていきます.
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(1)
Cは辺OAを内分する点なのでOC={3/(3+1)}OA[長さの比を考えよう]=(3/4)aと表せる.
またPは辺BCの中点なのでOP=(1/2)(OB+OC)=b/2+(1/2)*(3/4)a=3a/8+b/2.
(2)
Qは直線OP上にあるから適当な実数λをとってOQ=λOP[3点が一直線上の表示(線形従属)]と書ける.
一方, Qは線分CDの内分点でもあるので適当な実数tをとってOQ=(1-t)OC+tOD[3点が三角形をなすときの表示(線形(一次)独立)]と書ける.
ここでDは辺OBを4:1に内分する点なのでOD={4/(4+1)}OB=(4/5)OB
すなわちOQ=(λ/2)OB+(λ/2)OC=t(4/5)OB+(1-t)OCの2通りで表すことが出来る.
OBとOCは一次独立ゆえ係数比較可能で
λ/2=4t/5=1-t⇔t=5/9, λ=8/9
したがって
OQ=(8/9)OP, OQ=(4/9)OC+(5/9)OD
であり, PはOQを8:1に内分する点, QはCDを5:4に内分する点を意味する.
これよりCQ:QD=5:4, OQ:QP=8:1と求まった.
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内分点のベクトル表示の問題です. 答案を見ると図形の見方は分かっていると思います.
*ベクトルの独立と従属とは何か?
*内分点ベクトルの表示方法とは?
この辺りを他の演習問題を解くことで慣れていきましょう.
①があったおかげで②も解けました！
ありがとうございました。
とても助かりました🙇♀️
問題なのは
"OBとOCは一次独立ゆえ係数比較可能で"
の部分だけだと思います. あとは用語を無視しても理解できるはずです.
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平行な2つのベクトルの足し合わせは無限に存在します.
たとえば, u=a+(-2a)[係数が1,-1], u=-3(a)-(-2a)[係数が-3,1]のように一通りに書くこと[一意的に決まらない]は出来ません.
一方, 平行ではない2つのベクトルの場合はu=αa+βbのようにαとβを一意的に決めることが出来ます.
証明は, 表示が2通りあると仮定すると, α≠γ, δ≠βとなる実数をとってu=αa+βb=γa+δbと書けるはずです.
しかしa={(δ-β)/(α-γ)}b, すなわちaがbに平行となって仮定に反します. 以上から表示は一通りに限ることが示せました.
[この考え方を応用すると, 平面上にあるすべてのベクトルは平行ではない高々2つのベクトルで表示することが出来ることが分かります.]
したがって係数を比較するためには, 2つのベクトルが平行ではないことを確認する必要があったわけです.
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ベクトルの線形性[独立と従属]を教えないで, この問題を解かせるのは教育計画としておかしいと思うのですが...
coco.さんの先生がどのように教えているのか非常に興味があります.
すごく丁寧に書いて下さりありがとうございます！
ベクトルの独立と従属というのを、
まだ習っていないので、②の解き方を理解することができなかったのですが、ほかの解き方で、教えて貰うことはできませんか？
すごく、丁寧に教えて頂いたのに、能力不足で、本当にすみません。
もし、可能でしたら、よろしくお願いします。