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まず具体的な数字で考えてみると
5C3 = 5×4×3/3!
= 5×4×3×2×1/(3!×2×1)
= 5!/(3!×2!)
あえて 2×1(=2!) を分母分子に掛けることで、階乗のみで表せることがわかります。この2という数字は 5-3 から出てきました。
一般的な場合でも同様です。分母分子に (n-r)×(n-r-1)×...×2×1(=(n-r)!) を掛けます。
nCr = n×(n-1)×...×(n-r+1)/r!
= n×(n-1)×...×(n-r+1)×(n-r)×(n-r-1)×...×2×1/(r!×(n-r)×(n-r-1)×...×2×1)
= n!/(r!(n-r!))
