α>1かつβ>1 ならば α+β>2かつαβ>1は真と言えるが、
α+β>2かつαβ>1ならばα>1かつβ>1 とは言えません。
つまり、この不等式の変形では条件が緩くなってしまい、求めたい範囲がきちんと求められません。
元のα>1かつβ>1の条件を緩めない変形が
α>1かつβ>1 ⇔ α-1>0かつβ-1>0 ⇔ (α-1)+(β-1)>0かつ(α-1)(β-1)>0
になります。