この場合withは付帯状況（携帯）を表すwithでイメージとしては私に傘がついてくる、役割は｢私が｣持っていくというのを確実に表してるんだと思います。また、take 物 with 人 という形で覚えてしまってもいいかとは思います。

日本語ではわざわざ言い足しませんが、この場合は
｢傘を持ってく｣だと傘だけみたいになっちゃうから、私も一緒だよ〜という意味だと思います。
なくてもいい気はしますがね。