間違っています。
まず主語がOne morningという点が奇妙です。気象関係においては、主語はItとなります。
次にrained a lot of snowが変です。rainは動詞の時には雨が降るという意味となります。雪が降るはsnowとなります。
なので例えば、今朝沢山の雪が降りましたというのを表現すると、
It snowed hard in this morning.
のようになります。