例えば、5枚のカードから3枚引くとき、まず5枚のカードから1枚を選んで(5通り)、次に残った4枚から1枚を選んで(4通り)、残った3枚から1枚を選んで(3通り)、それを並び替えるというのが、5P3=5×4×3の計算です。
10枚目でジョーカーを出るというのを逆から考えれば、
[ア](9枚目まではジョーカーのカードが出る事象)
かつ
[イ](10枚目にジョーカーを引く事象)ということです。

[ア]9枚目まではジョーカーのカードが出る事象
全事象
53枚のカードから9枚のカードを選んで並べるので、53P9です。これは、一番最初の5枚から3枚の考えと同じです。
起こりうる事象
ジョーカー以外の52枚のカードからなら、どのカードを引いてもいいので、52枚のカードから9枚を引いて並べるという事象を考えます。
よって求める確率は52P9/53P9です。
上手に消えてくれて44/53です。

[イ]10枚目にジョーカーを引く事象
全事象
残ったカードは53枚から10枚をとったので44枚(+1を忘れないように)
そこから1枚をとる方法は44通り
起こりうる事象
ジョーカーは1枚。1枚から1枚選んで並べるのは1通りしかないので1通り
よって1/44

このアとイの事象が同時に起こらないといけない(∩のかんがえ方)ので、積の法則を適用して、44/53×1/44=1/53です。

これで大丈夫でしょうか。