f(x,y)=ylog(x²+y²) より
fx(x,y)＝{y/(x²+y²)}•2x
＝2xy/(x²+y²)
fy(x,y)＝log(x²+y²)+y•2y/(x²+y²)
＝log(x²+y²)+{2(x²+y²)-2x²}/(x²+y²)
＝log(x²+y²)+2-2x²/(x²+y²)

よって
fxx(x,y)＝{2y(x²+y²)-2xy•2x}/(x²+y²)²
＝2y(y²-x²)/(x²+y²)²

fxy(x,y)＝2x(x²-y²)/(x²+y²)²
(fx(x,y)がxとyの対称式なのでfxxのxとyを入れ替えればよいです)

fyx(x,y)＝2x(x²-y²)/(x²+y²)²
(fはC²級なので fyx=fxy)

fyy(x,y)＝2y/(x²+y²)+2x²•2y/(x²+y²)²
＝2y{(x²+y²)+2x²}/(x²+y²)²
＝2y(3x²+y²)/(x²+y²)²

こんな感じでしょうか。あってるといいな⋯