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とりあえず、(2)の問題文を無視してはいけません。大きさ1のものを答えましょう。(1)と(4)はあっています
行列はAは実対称行列ですから、直交行列で対角化可能なことはおそらく授業で習ったかと思います。この問題では一貫してそれを意識したつくりになっています
(5)について。AとDは相似ですが、だからといってAをDに置き換えることはできません
→ →
(d²/dt²)(Py)=-aAPy
の形から始めましょう。できるだけ成分を使わず行列のままで計算し、最後の答えを書くところだけ成分表示すればいいと思います
(6)展開した結果が少し違う気がします。おそらく x1, x2 と y1, y2 を混同しているのでは？落ち着いてもう一度やってみてください
いつもお世話になっています。
ご回答くださり、ありがとうございます。
ご教授いただいた部分を解き直してみました。
(2)
ⅰ) λ=1のとき
ノルムが1のものは
[x1] = 1/√(2) [1]
[x2] [1] ◼︎
ⅱ) λ=5のとき
ノルムが1のものは
[x1] = 1/√(2) [1]
[x2] [-1] ◼︎
●ここで質問なのですが、先程までは固有値1or5に属する固有ベクトルを求めていたので、tで定数倍を表していました。いま大きさが1ということは、tは不要という認識で合っていますでしょうか？
(3)
先程と回答変わらず…と思ったのですが、
ご指摘のほどよろしくお願いします。
(5)
d^2/dt^2(𝔂)=[-a 0](𝔂)
[0 -5a] ◼︎
(6)
U=k(y1^2+5y2^2) ◼︎
となりました。
お手数お掛けしますが、よろしくお願いします。
# 太字フォントは文字出力サイトからコピーしています。
URL→ https://yaytext.com/
(2)Raikiさんの言う通り、tは不要になりますね。逆ベクトルもあるので例えばλ=1に対する固有ベクトルだったら
± 1͟ [1]
√2 [1]
とするのがいいと思います
(3) (2)で求めた固有ベクトルが変わるため、対角化行列Pが少し変わります。それに合わせて、転置行列や逆行列も変わってきますね。正しく答えが出せていれば、
P^T=P⁻¹
となるはずです(つまりPが直交行列になります)
(5)あってます！
(6)はじめに気になっていたところは良くなりました。ただ、よく考えたらはじめの対角化行列Pを使うと答えが変わってしまいますね。(3)を解き直して得た対角化行列Pで計算してみてください
文字出力サイトでしたか。いろんなフォントあって面白いですね。ありがとうございます！
逆ベクトルを失念していました。ご指摘ありがとうございます。
計算し直した対角化行列Pを使い、解き直しました。
(3)
P=[ 1/√(2) 1/√(2)]
[ 1/√(2) -1/√(2)] ◼︎
PT= [ 1/√(2) 1/√(2)]
[ 1/√(2) -1/√(2)] ◼︎
P^-1= [ 1/√(2) 1/√(2)]
[ 1/√(2) -1/√(2)] ◼︎
(5)
(d^2/dt^2)𝔂=[ -a 0]𝔂
[ 0 -5a] ◼︎
(6)
U=(1/2)k[y1^2+5y2^2] ◼︎
となりました。
よろしくお願いします。
全部あっていると思います
ありがとうございます！
太文字でベクトルを表すのいいですね。どうやって打ち込んでいるのですか？