このようになってしまうのですが、どこがおかしいか教えていただけないでしょうか

連続と微分可能がごっちゃになってますね。「∴」の記号のあとは
lim f(x)＝π/2
x→0
ではなく
f(x)-f(0)
lim ————＝π/2
x→0 x-0
ではないでしょうか？

なるほど、たしかにそうですね。
では、下の数行は不要で、右微分係数と左微分係数が等しいことを確認して、fはx=0で微分可能と言っても良いでしょうか？

そうですね

ありがとうございました。
整理がついてない箇所があるようなので全体的に見返してみます。

何度も見返したりするのは知見が増えていいことですね。私も偉そうに言ってましたが問題をパッと見たときは少し混乱しました