全くできないです....

図①のようにまず、与えられた情報を書き込みます。そして、図②として、証明したいことがらが成り立つと仮定した図をかきました。数学ではわりとゴールから考えてやったら解けるので、今回も示したいことを成り立つと仮定して、遡っていきます。このとき、この図に書き込んだ情報のうち、成り立つとして仮定したもの(証明したいことがら)は証明のなかで使ってはいけないことに注意してください。この図を見る限りではAQがPC,PR,RCと等しいことを示せばよさそうですね。
中学数学ではほぼ合同相似で示すことが多いので、おそらくそうだろうと考えて、②のどこかにそれが潜んでないか探します。すると△AQBと△CPBが3組の辺が等しく合同ですね。
逆にこれを捉えれば、この合同さえ示せたらAQ=CPが説明できるということですよね。だから。この2つの三角形が合同だということを証明したいことがらAQ=CPを含まない図①を使って示していきます。
図を見ればQB=PBとAB=CBは明らかです。ここで、あともう1つ条件がないと合同は示せません。最終的に合同条件として2組の辺と...を使うならその間の角どうしが等しいことを示す、3組の辺が...を使うならば残った1辺どうしが等しいことを示す必要があります。逆に、この2つの条件から1辺とその両端の可能性は消えましたね。(2辺が等しいことをすでにわかっているのに、1組の辺と...を使えば、1つが無駄になるから)
ここで3組の...の可能性を検証します。残った1辺はAQとCPなので、こいつらが等しいことを示したいので、こいつらは使えません。すると、残った2組の辺と...に決まります。すなわち、∠QBA=∠PBCさえ示せたらもうあとは合同条件2組の...に持っていけるということです。この2つがどうにかして等しいことを示します。すると、図から、両方とも60°から重なった部分∠ABPを除いた角度になることがわかるので、等しいことを示すことができましたね。あとは2組の辺とを使って合同を示せば終わりです。

思考回路的に言えばこうなりますね。回りくどく書きましたがわかってもらえたでしょうか？