実はHikaruさんの答えでも〇になります。

7k+5＝7(k+1)-2
というようになります。ここで、k+1＝aとおくと、
7k+5＝7a-2
となります。
a＝k+1で、kが整数であるから、aも整数なので、
7k+5と7a-2は同じことを言っています。
……と言っても、最初はなかなか飲み込めません。

では、実際に数値を入れてみましょう。
k＝1とすると、a＝2、7k+5＝7a-2＝12
k＝2とすると、a＝3、7k+5＝7a-2＝19
なんだか、同じことを言ってなぁ、というのが分かりますね。

要は何をkとおくかの違いなのです。
bという整数があったとき、Hikaruさんはk＝bとおき、解答はk＝b+1とおいていたというだけです。
ここで、そんな自由なことやってもいいのか、と思うのではないでしょうか。
ただ、k自体、自分で定めた文字なので、その文字の定義が少しずれていたところで、二つとも整数であるということは揺るがないため、Hikaruさんの書き方でも模範解答でも〇になるのです。

説明下手ですみませんが、理解に役立ったなら幸いです。