solve(他)→solve O（Oは目的語） 「~を解決する」
to do 「~するため」
です。
solveは他動詞なので後ろに目的語が来なければなりません。
今回場合、《何を解決する?》に対する答え（つまりこれが目的語）はthe problemになります。よって、
To solve the problem
の語順になります。
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補足です。
We need to talk with each other to solve the problem.
この文の形を変えたものがこの問題の答えです。
そのまま前に持っていっただけです。