(1)
p=(x,y,z) とおくと
∂p/∂u=(φ'(u)cosv, φ'(u)sinv, ψ'(u))
∂p/∂v=(-φ(u)sinv, φ(u)cosv, 0)
=φ(u)(-sinv, cosv, 0)
より
(∂p/∂u)×(∂p/∂v)
=φ(u)(-ψ'(u)cosv, -ψ'(u)sinv, φ'(u))
であり
||(∂p/∂u)×(∂p/∂v)||
=φ(u)√({φ'(u)}²+{ψ'(u)}²)
よって、
D=[a,b]×[0,2π]
とすれば求める表面積Sは
S=∫∫_D ||(∂p/∂u)×(∂p/∂v)|| dudv
=∫[0,2π]∫[a,b]φ(u)√({φ'(u)}²+{ψ'(u)}²)dudv
=2π∫[a,b]φ(u)√({φ'(u)}²+{ψ'(u)}²)du

(2)
(1)において
φ(u)=R+rcosu
ψ(u)=rsinu
とすればいいから
S=2π∫[0,2π]φ(u)√({φ'(u)}²+{ψ'(u)}²)du
=2π∫[0,2π](R+rcosu)•r•du
=2π•2πRr
=4π²Rr