それだと、例えば①とかは(α-k)(β-k)>0かつ(α-k)+(β-k)>0の不等式を解いたら、左辺は自動的にα>kかつβ>kが成り立ち、D≧0がいらないのではないでしょうか。
なのに、なぜD≧0が書いてあるのでしょうか？

判別式がいるのか
いらないのか
で言うと
最後のは無くて問題ないです

この方程式で考えるより
二次関数f(Ｘ)で捉えるとわかりやすいかもです

Ｘ軸上のＸ＝kの点をまたぐ形で
α、βがＸ軸と交わるための条件は
f(k)＜０１つだけで済み
判別式は調べる必要はありません

↑
これはグラフを書いたら
f(k)＜０を満たすところを通りながらグラフをかくと、自然とα(またはβ)がkより小さいところで、β(またはα)はkより大きいところで交わることと似ています

なるほど！
長文で、丁寧な解説でありがとうございます！