まず、もし期待値の定義をご存知でない場合、教科書等で確認することをおすすめします。
ここからは期待値の定義を知っている前提で書きます。
｢成功｣を○、｢失敗｣を‪✕‬とする。
①4回成功の場合
○○○○の場合のみなので確率は
(2/3) ⁴＝16/81

②3回成功の場合
○○○×、○○×○、○×○○、×○○○の4つの場合があり、例えば○○○×の確率は
2/3 × 2/3 × 2/3 × 1/3＝8/81
4つの場合どれも確率は等しくなるので3回成功する場合の確率の合計は4×8/81＝32/81

③2回成功の場合
○○××、○×○×、○××○、×○○×、×○×○、××○○の6つの場合があり、例えば○○××の確率は
2/3 × 2/3 × 1/3 × 1/3＝4/81
6つの場合どれも確率は等しくなるので2回成功する場合の確率の合計は6×4/81＝24/81

④１回成功の場合
○×××、×○××、××○×、×××○の4つの場合があり、例えば○×××の確率は
2/3 × 1/3 × 1/3 × 1/3＝2/81
4つの場合どれも確率は等しくなるので1回成功する場合の確率の合計は4×2/81＝8/81

①〜④より求める期待値は4×16/81 ＋ 3×32/81 ＋2×24/81 ＋1×8/81＝216/81＝8/3

分からないところがあったら、遠慮なく教えてください