絶対値の方程式の解き方を最初に示しておきます。
|x|＜2　なら、日本語で書くと「絶対値が2より小さい値」→「-2より大きくて2寄り小さい値」と言い換えることができますので、-2<x<2のように不等式ができます。
同様に
|x|＞2　なら、x＜-2,2＜x
と変形ができます。

これを踏まえて、それぞれの不等式を解きます。
|x+1|＜2　
この式は、
-2<x+1<2
両辺に-1をして、
-2-1<x+1-1<2-1
→　-3<x<1…①

|x-2|＞k
この式は、
x-2＜-k,k＜x-2
片方がxだけになるように移項して、
→　-k+2＞x,k+2＜x
→　x＞2+k、または　x＜-k+2…②

①②の共通範囲に、整数ｘが1個だけ存在するように、kの値の範囲を求めます。
-3<x<1…①、x＞2+k、または　x＜-k+2…②
例えば、k＝2としましょう。
-3<x<1…①、x＞4　または　x＜0…②
①②に共通する整数xは何だと思いますか？
x＝-2と-1になります。
このように具体的に数値を入れていくと、不等号のイコールがつくつかないや、いくつからいくつの範囲かを求めることができます。

k＝3のとき、
-3<x<1…①、x>5　または　x＜-1…②
①②に共通する整数xは、x＝2だけになります。

k＝3.00…1のとき、
-3<x<1…①、x>5.00…1　または　x＜-100…1…②
①②に共通する整数xは、x＝2だけになります。
これより、kは3以上になることがわかりました。

では、k＝4のとき、
-3<x<1…①、x>6　または　x＜-2…②
①②に共通する整数xは、ありません。
①②の共通の範囲は、-3<x<-2という範囲になるためです。
ということは、k=4は範囲にならないことになります。

では、k＝3.99…9のとき、
-3<x<1…①、x>5.99…9　または　x＜-1.99…9…②
①②の共通範囲は、-3<x<-1.99…9
という範囲になるので、この範囲内にある整数はx＝-2になります。

よって、kの範囲は3以上4未満となり、
3≦k＜4
この時の整数は、x＝-2
となりました。

いかがでしょうか。