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まず、正答のmaking my mother loughは「分詞構文」です。で、使役動詞としてmakeを使っていて、「私の母を笑わせる（た）」というようなことを言っています。
この「笑わせる(た)」の主語（何が、母を笑わせたのか）のは何かというと、カンマの前のa good joke、もしくはカンマの前の内容全体です。（=父が上手いジョークを言った こと）
分詞構文ではこういうことはよくあります。
madeは、過去形もしくは過去分詞ですよね。
まず過去分詞だとすると、これは受動態の分詞構文になるんですが、受動態なのに目的語の位置にmy motherがあるからおかしいです。
例えば
He loves her. 能動態
She is loved by him.受動態
これを見比べると、能動態の目的語（her）が受動態では主語の位置(she)に動いているから、受動態では目的語がなくなってますよね。これは受動態の文全般に言えることです。
次にmadeが過去形だとすると、
My father told a good joke, (and he) made my mother laugh.
と考えたのかなと想像できるんですけど
これには2つの指摘ができます
1つは、「独立した複数の文(複数の節)を、接続詞を省略してカンマだけでつなぐことはできない」ということです。ただ、これは文法のルールとしてはそうなんですけど、文章を読むと結構andとか省いてカンマだけでつないでたりするんですよね。だからあくまで文法問題を解くために正しい文法を考えると、という話になります。
もう1つは、My father told a good joke, (and he) made my mother laugh.を考えると、
父が上手いジョークを言った のとは関係なく、
別のこととして
父が母を笑わせた
と読めてしまうということです。
父が上手いジョークを言って、そしてその次に母を笑わせた、ということだから。
正答のほうは、そうじゃないんです。
次のように考えてください。
①父が上手いジョークを言った
My father told a good joke.
②そのジョークが母を笑わせた
It made my mother laugh.
it = a good joke
もしくは
①父が上手いジョークを言った
My father told a good joke,.
②そのことが母を笑わせた
That made my mother laugh.
that =「父が上手いジョークを言ったこと」
この①②を、分詞構文をつかって一つにまとめたのが正答のMy father told a good joke, making my mother laugh.です。
だからこの場合は、
前半の
父の言った上手いジョーク
父が上手いジョークを言った という出来事
のどちらかが原因になって、母が笑ったと言ってます。①②がバラバラの出来事には解釈し得ないんです。
で、表そうとしてる状況を考えたときに自然なのは、
「父がジョークを言って、それによって母が笑った」
という因果関係だと思うので、makingが正解と判断すると思います。
はい、これがまさに
「分詞構文ではこういうことはよくあります。」
と私が書いた「こういうこと」です。
よくぞ気づいてくださいました。
分詞構文に限らず準動詞（to 不定詞や動名詞）で習う基本的なこととして、
「意味上の主語（分詞構文の主語）が、主節の主語と異なる場合は、意味上の主語を明記する」
というのがありますよね。
to不定詞の場合は toVの前にfor 名詞 をつける
動名詞の場合は 〜ingの前に、意味上の主語をつける
分詞構文の場合も 分詞の前に、意味上の主語をつける
（こういう分詞構文を 独立分詞構文 といいます）
独立分詞構文の解説↓
https://migaku.com/ja/blog/language-fun/english-independent-participle-construction
で、ご指摘いただいたのは
今回の文を、分詞構文・主節を部分ごとに分解して考えて、それを一文にまとめて書いたと考えると
独立分詞構文になるじゃん？ ということですよね。
> ①父が上手いジョークを言った
>My father told a good joke.
> ②そのジョークが母を笑わせた
>It made my mother laugh.
>it = a good joke
この合成なら
My father told a good joke, "it" making my mother laugh. （※これは誤文）
じゃないの？ということですよね。
これについては
分詞（分詞構文だけではなく名詞を修飾する分詞も）が、
「関係詞節の簡略化表現」として使われることがある
ということを覚えておけばいいです。
例えば
「椅子の上で寝ている猫はタマです」の場合
関係詞を使って書くと
a)The cat which is sleeping on the chair is Tama.
名詞を後ろから修飾する分詞 を使って書くと
b)The cat sleeping on the chair is Tama.
となりますが
これ、よく見比べてもらうと
which isがあるか無いかの違いだけですよね。
つまり
分詞のまとまりが、関係詞節の短縮形として使われているんです。
これは、分詞の種類が現在分詞でも過去分詞でも、
全く同じことです。
長くなるので例文を省きますが
過去分詞バージョン考えてみてください。
それで、ここからが今回の文に直接関係ある話です。
関係詞には
カンマなしの関係詞（制限用法）
カンマありの関係詞（非制限用法）
の2つがありますよね。
で、非制限用法でもいま説明したことは起こるんです。
だから今回の文は
My father told a good joke, which made my mother laugh.
という文の短縮形だということです。
で、先行詞はなんなのかというと、a good jokeもしくは主節の内容全体だろうということです。
こういう文は、文章を読んでいるとしょっちゅうあります。それなりのレベルの長文を読んでいれば絶対に見かけます。
でもなぜか高校生向けの文法参考書にはあまり取り上げられません。なぜ…？と思っています。気になって何年か前に同じこと誰かが言ってないかネット検索しまくったことがあるんですけど、少数の参考書には載ってるみたいです。
僕の持っている解説書の例文を挙げます。
The political function of the schools is to teach Americanism, meaning not merely political and patriotic dogma, but the habits necessary to American life.
「学校の政治的役割はアメリカ人気質（Americanism）を教えることであり、その気質とは、政治的・愛国的な教義（dogma）だけでなく、アメリカでの生活に必要な習慣も意味している。」
The political function of the schoolsが文の主語
meaning〜が分詞構文です。
meaning〜は、独立分詞構文ではないけれども、
meaningの意味上の主語は、
文の主語ではなく、Americanismです。
>どうやって判断すればいいのですか？？💦💦💦
うーん、
これさえわかれば判別できます みたいな
特効薬みたいなものはないです。
このタイプの分詞構文は、
普通の（学校や塾でよく習うタイプの）やつと、
見た目は一緒だから、一応「分詞構文」ではあるけど、成り立ちが全然違う。
だから、最初から普通の分詞構文とは別物として考えればいいと思います。
塾で習ったやり方でやってみて
なんか意味がおかしいなと思ったら
もしかして関係詞節の簡略化なんじゃない？と
考えればいいと思います。
1番いいのは、
分詞構文を見かけたときに毎回2種類の発想をすればいいと思います。
普通の分詞構文と、そうじゃない方と。
初めはめんどいですけど、すぐ慣れて、そのうち何も意識しなくても頭が勝手に考えるようになります。
ただ今回の文だと
My father told a good joke, (and he) made my mother laugh. （※正答ではない文）
これだと、
「父がジョークを言って、そして次に(ジョークとは別に)母を笑わせた」になっちゃうなー
と気づくのは難しいかもしれないですね。
だからやっぱり、
文法問題として考えたときに
接続詞なしでカンマだけで、動詞を含んだ2つのまとまりがつながるのはおかしい
と考えて解くことになるのかなあ。
文章読んでると普通によく見かけますけど、"文法として正しい"かと言われるとそうではないから。
ちなみに3つ以上だとA, B, C, and D みたいに、最後以外は接続詞を書きませんから、その点は気を付けてください。
長くてすみません
コメント確定してから細かい誤りを見つけてしまって
2回コメントし直しています
①父が上手いジョークを言った
My father told a good joke.
②そのジョークが母を笑わせた
It made my mother laugh.
it = a good joke
もしくは
①父が上手いジョークを言った
My father told a good joke,.
②そのことが母を笑わせた
That made my mother laugh.
that =「父が上手いジョークを言ったこと」
この①②を、分詞構文をつかって一つにまとめたのが正答のMy father told a good joke, making my mother laugh.です。
↑↑↑
①と②の主語が違うのだから、分詞構文に書き換えたら独立分詞構文になるとならいましたが、なぜ、It やThat のない分詞構文になるのですか？
making my mother laugh を副詞節に書き換えたら、and he made my mother laugh ではないのですか？？
塾で習ったのと違いのでどうやって判断すればいいのですか？？💦💦💦