「このように」は最初の一手を指しているのでしょうか？

教科書にも、一般項と和の関係はがっつり出てきます

n=2,3,4,…のとき、
第n項は「初項から第n項までの和」から
「初項から第n-1項までの和」を引いたものです

いま、「初項から第n項までの和」がn²+3n+2
と与えられています
nをn-1に取り替えることで
「初項から第n-1項までの和」が(n-1)²+3(n-1)+2
といえます
ここから、一般項Sn(n=2,3,4,…)が出せます

なお、n=1のときは、与式でn=1とすれば出ますね