[II] 次の あ から お にあてはまる数や式を解答用紙の所定の欄 に記入せよ。 途中経過を記入する必要はない。 I を正の整数とする。 座標平面上の点で, 座標とy座標がともに整数で あるものを格子点と呼ぶ。 | | +lyl = 2n を満たす格子点(x, y) 全体の集合を D2n とする。 (1) D4 は あ 個の点からなる。 一般に, D2n は い |個の点から なる。 (2) D2n に属する点 (x, y) で |π-2n| + |y| = 2n を満たすものは,全部で う 個ある。 (3) D2n に属する点 (x, y) で |æ- n + |y - n| = 2n を満たすものは,全 部で え 個ある。 (4) D2n から異なる2点 (1, y/1), ( 2,y2) を無作為に選ぶとき, |x1 - 2|+|/1 - y2| = =2n が成り立つ確率は お である。

3/4 2n 12 (確率の基本性質) 解答 (1) 方程式 31 2n |x|+|| = 2n ......① の表す図形は右のような正方形で 2n ある. -2n O -2n D2n の第1象限にある点は (1,2n-1), (2, 2n-2), .・・ (2n-1,1)の2n1個である. 他の象限にも同じ だけあり、これに軸上の4点((±2n, 0) と(0, ±2n)) も考えて, D2n に属する点の個数は, 4(2n-1)+4=8n である. D4 に属する点の個数はこれのn=2の場合 で. 16である. (2)|x-2n| + || = 2n ② ①-②より. |x|-|x-2n|= 0 ..||=|æ-2n| したがって, x=± (x-2n) であるが, n>0より x=2n を満たすæは存在しない. x=-(x-2n) よりæ=n. このとき①より|g|=n, すなわち, y=±n が得られる. よって, D2n に属す る点で ②を満たすものは (n, in) の2個である. (3) ①と|x-n|+|y-n=2n...... ③ の表す図形 を図示すると次のようになる。 ⑤ 2n -n On 2n 0 D -2n -2n 重なり合う実線部分の格子点の個数を求めるとよい。 2つの実線の線分上にはそれぞれn+1個の格子点が あるので, 求める個数は2(n+1) である. したがって, ④を満たす2点 (π1,3) (π2,y2) の組 の個数は, (4) 異なる2点 (1,9/1), ( 2,y/2) の選び方は 8n (8n-1) (通り)あり,これらを等確率で選ぶ、 次に. |12|+|3/1-y/2|=2n .......④ を満たす2点の選び方は次のようになる. (i) (x2,y2)= (in, in) (複号任意) のときは, (3) で求めたように, (π1, 3/1) はそれぞれ2(n+1) 通りず つ存在する. (ii) (i) の場合以外のときは, D2 と |-2|+|y-y2=2n⑤の表す図形の共有点 の個数を数え (1, y/1) は2通りずつ存在する. 4.2(n+1) + (8n-4) 2=24n であるから, 求める確率は, 24m 8n(8n-1) である. 3 8n-1