数1Aの2次関数の単元のように、判別式などで絞っても不可能ではないです…。ただ、(タ)〜(ネ)の時点で複雑すぎる解き方になっちゃうので(下記参照)オススメできません。ましてやスピード勝負の共テ形式でこんな複雑な方法取れません。グラフの問題ではaを含む項と他の項で分けて共有点を求めるのがテンプレートなので、模範解答のような解き方丸々覚えちゃってください-`📢⋆

【参考：(タ)〜(ネ)の別解】
y＝f(x)＝-2x²+4x+4-9a･･･(＊)とおく。
f(x)＝0が-1/2<x<4に少なくとも1つ解を持つ範囲、異なる2つの実数解を持つ範囲を調べる。

判別式D/4＝4+2(4-9a)≧0 よりa≦2/3･･･①
y＝-2(x-1)²+6-9aより、軸は定義域にある。

(i)解の全てが-1/2<x<4にある
⇔f(-1/2)<0かつf(4)<0かつ①
∴1/6<a かつ-4/3<aかつa≦2/3
∴1/6<a≦2/3 (ただしa＝2/3の時重解)

(ii)解の1つが-1/2<x<4にあり、もう1つは範囲外
⇔f(-1/2)･f(4)<0
∴(3/2-9a)(-12-9a)<0
∴(1-6a)(4+3a)>0
∴-4/3<a<1/6

(iii)x＝-1/2でx軸と交わる
⇔f(-1/2)＝0 ⇔ a＝1/6
もう一方の解は(＊)より-2x²+4x+5/2＝0
x＝5/2 (範囲内)
だからa＝-1/6は｢1つ解を持つ｣に帰属

(iv)x＝4でx軸と交わる
⇔f(4)＝0⇔a＝-4/3
もう一方の解は(＊)より-2(範囲外)
だからa＝-4/3は｢解を持たない｣に帰属

(i)〜(iv)より、
・実数解を持つ範囲
-4/3<a≦2/3
・異なる2つの実数解を持つ範囲
1/6<a<2/3