応用問題 3 三角形 ABC において,次のそれぞれの条件が成り立つとき,三角形 ABCはどのような三角形であるか調べよ. (1) asinA+bsinB=csinC (2) bcos A=acos B 精講 三角比の関係式から三角形の形状を決定させる問題です.このよう な問題では,三角比を,正弦定理や余弦定理を利用してすべて辺の 長さ a, b, c を用いて表すことがポイントになります. それにより, 三角比 の関係式は 「辺の長さの関係式」にすり替わります. 例えば,三角形ABCの外接円の半径をRとすると、正弦定理よりま a b _C = = =2R sin A sin B sin C ですので,これを sin A, sin B, sin Cについて解くと, sinA=- a 2R' sinB= b 2R' C sinC= 2R cos A = となります. (1) ではこれを利用します. また, 余弦定理より, b²+c²-a² c+α2-62 cos B= 2bc 2ca などが成り立ちますので, (2) ではこれを利用しましょう. 解答 (1) 三角形ABCの外接円の半径をR とすると,正弦定理より, a b sin A= sin B= sinC= 2R' 2R' 2R これを与えられた等式に代入すると, Q2 62 C2 + = すなわち α'+b2=c2 2R 2R 2R