(2) 問題 B 次のように定められた数列{a} の一般項を求めよ。 01=1, a2=-2, d3=3, an+3=40円+2 50+1+20m(n=1,2,3, ...) 太郎:3項間の漸化式 αn+2 pan+1 +gan は,この式を an+2 -Ban+1=α(an+1-Ban) に変形して、数列{a} の一般項を求めることができたね。 花子:4 項間の漸化式も,同じように変形して一般項を求められないかな。 数列{a} の漸化式を an+3 - QQn+2 - ran+1 = p(An+2-Q0n+1 -ran) に変形できるとき (p, q, r) = == ス セ ソタ チ ツ テト である。 ただし, ス チ とする。 (数学II,数学B, 数学 C 第4問は次ページに続く。)

(i) (p, q, r) = ス セ フタの an+2Qan+1 ran = ナニ である。 (ii) (p, q, r)= チ ツ テトのとき an+2qan+1 -ran ヌ である。 (i), (ii) より, 数列{an} の一般項は である。 an= ヒフn+ 八の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。) n-1 n+2 n n+3 n+1

(2) an+3-gan+2ran+1=plan+2-gan+1 -ram) は an+3= (p+g)an+2- (pq-r)an+1 - pran であるから p+g=4 pq-r=5 pr = -2 第1式と第2式より g を消去すると p(4-p)-r=5

この式と第3式よりを消去すると p-p²+4p-5)=-2 p-4p²+5p-2=0 (p-1)2(p-2)=0 p = 1, 2 よって、 求める Q.の組は (p,g,r) = (1,3, 2), (2,2,-1) (i) (p.g.r) = (1,3,-2) のとき an+3-30万+2 +20n+1=dx+230万+1 +20m dn=an+230円+1 +20円 とおくと dn+1=dn となるから、数列{d} はすべての項が同じ値からなる数列である。 d=a3-3a2+2a1 = 3-3 (-2) +2.1 =11 であるから dn=11 ゆえに an+2 -3an+1 +2an = 11 (i) (p,g,r) = (2,2,-1) のとき an+32an+2+an+1=2(An+2-2an+1+an) en=an+2-2an+1 + an とおくと en+1=2en となるから, 数列 {ex} は公比が2の等比数列である。 e1 = a3 -2a2+ a1 = 3-2(-2)+1 =8 であるから en=8.2n-1 = 2n+2 ゆえに an+2 -2an+1 + an = 2n+2 よって, ④ ③ より an+1 - An = 2n+2 -11 であるから, n≧2のとき n-1 an= a + (ak+1-ak) k=1 n-1 =1+2 (2k+2-11) k=1 =1+ 23(2"-1-1)_1l(n-1) 2-1 = 2n+2 -11n +4 これはn=1のときも満たすから an=2n+2-11n +4 ↑ ③