184 実践問題 038 接線 (土) f(x)=3 であるから,y= (P-4t)にお y=(3t- y=(3+2. これが点 (1, 3次関数y=f(x)=x4zに対して、 次の問いに答えよ。 (1) (1,4) から曲線y=f(x)に引いた接線のうち, 傾きが正の値となる よるものの方程式を求めよ。 (早稲田大) (2)(1)で求めた接線と曲線y=f(x)との共有点のうち、接点以外の点の座標を求めよ。 [GOAL =HOW WHY ] ひらめき (1)f(1)=-3より, 点 (1,4) はy=f(x) 上の点ではありません。 通る点が (1, -4) とわかっているので接線の方程式は,傾きをとおくと, y-(-4)=m(x-1) と表せますね。 YA y=f(x) 2 2 (2t- この接線がy=f(x) に接する条件から, m の値を求めることもできます。 もし、f(x) が2次関数であれば、 接する条件は、連立した方程式の (判別式) =0になる! しかし, f(x) が3次関数の場合は、接する条件が少々難しくなりますし、 (t,f(t)) f(x)がェの多項式でなくなった場合は,この方法ではできません。 接線がからむ問題は,基本的に 接点をおくことから始める ことをおすすめします! より, t y (2) y=f( GOAL HOW ? WHY 点 (1-4) から曲線 y=f(x) に引いた接 線のうち, 傾きが正 の接線の方程式が求 まる 点 (t, f(t)) におけ る接線 × y-f(t)=f(t)(x-t) tの値が求まれば, 求める接線がわかるか ら が点 (1-4) を通る ときのtの値を求め る より 点 (1,4)を通るときは, 「x = 1, y=-4 を代入して 「=」が成り立つ」ときですね! (2)(1) で求めた接線の方程式をy=g(x) とすると,y=g(x) とy=f(x) の共有点の座標は,y=g(x) と y=f(x) を連立してy を消去した方程式f(x)=g(x) を解くことで,求めることができます。 共有点の 座標が求まったら, (1) で求めた接点以外が求める座標となります。 参考 GOAL HOW ? WHY 接線の方程式と y=f(x) との共有点 のうち、接点以外の 点の座標が求まる y=f(x) (1) で求め × 連立方程式の解が、共有点の座標だから た接線を連立する で

osa 正の値となるものの方 るものの方程式を求めよ。 ■の点の座標を求めよ。 (早稲田大) る点が y=f) O (t,f(t)) からむ問題は,基本的に のとき F(x)=3x²-4 あるから、y=(z) 上の点 における接線の方程式は、 y=(3-4) (x-1)+1-41 (31-4)x-21 ...... これが点 (1,4) を通るとき, -4-(312-4)-27³ 21³-312=0 12(21-3)=0 f(x) AZ (t, P-40) おける接 3 t=0, 2 f'(0)=-4, 11 =3 4= 4 t=0における接線も点 (1, 4) を通るが、 これは接線の傾きが負になってしまうから、 求める接線ではない ①に代入して,求める接線の方程式は より、 2 11 27 ...... 2 PIECE 505 定点を通る接線の方程式 求める接線がわかるか y=4 (2) y=f(x) ②を連立して 11 27 x³-4x= 27x+27=0 (*) (2x-3)2(ar+b)=0 (42-12+9)(ax+b)=0 (x+3)(4x²-12x+9)=0 (x+3)(2x-3)²=0 3 x=-3, 2 より, f(-3)=-27+12=-15 であるから,接点以外の共有点の座標は, ね! (-3-15) 答 座標は, y=g(x) と 参考 きます。 共有点の 座標だから (*)と比較して 4a=4 16=27 よって, a=1, b=3 における、 (C) 185 y=-4x y=f(x) 11 27 O 3 12 - y=f(x) ②を連立した方程式は = =23 を重解にもつので(*)の左辺は (2x-3) を因数にもつ。 2 なんでこれが 分かる? Ya y= f(x) 11 y= x- 4 3 2 21 8 ・15 2