60 § 6 数列 ★★ 42 【15分】 奇数の数列 1, 3, 5, 7, ...... を,次のように群に分ける。 13,5,7| 9, 11, 13, 15, 17 | 19, 第1群第2群 第3群 ここで,第n群は (2m-1) 個の項からなるものとする。 第n群の最初の項を an で表す。 (1) 花子さんと太郎さんは, anの求め方について話している。 花子: am が奇数の数列の何番目の項になるかを調べてみよう。 太郎: an の階差数列を考えてもいいね。 (i) 花子さんの求め方について考える この数列の第n群は (2n-1) 個の項からなるので, a は1から数えて n+ イ (番目) の奇数である。 2 2 よって an ウ n I n+ オ である。 3 4 (i) 太郎さんの求め方について考える。 An+1 は am から数えて カ |n- キ番目の奇数であることから an+1 an = ク n- ケ (n=1,2,3, ......) が成り立つ。 4 2 よって 2 an= H Int オ と求められる。

42 (1Xi) n≧2 のとき, 第1群から第n-1群までに含まれる項の個 数は (2k-1)=2. (n-1)n 2 (n-1) 4414 =n²-2n+1 % 1-15 APROBA よって, anは1から数えて n-2n+2番目の奇数であるから an=2(n-2n+2)-1 1=2m²-4n+3 である。これはn=1のときも成り立っている。 (ii)第群には (2n-1) 個の奇数が含まれているので, an+1は an から数えて2n-1番目の奇数である。 よって-1- an+1=an+2(2n-1) an+1an=4n-2 n≧2のとき an=a1+(4k-2) =1+4/12(n-1)n-2(n-1) =2m²-4n+3 これは n=1のときも成り立っている。